11. Определение и примеры скалярного произведения векторов векторного пространства.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и . Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство коммутативности скалярного произведения ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

1. ;

2. ;

3. или ;

4. .

11. Свойства скалярного произведения.

свойства скалярного произведения.

1.  │ │=

2. Критерий ортогональности

 ⇔ ( , ) = 0

3. Длина проекции вектора на ось l с направляющим вектором равна

│

В

│=

B’

A’

l

А

11. Ортонормированная система векторов. Процесс ортогонализации.

Определение. Система векторов называется ортонормированной, если для любых i, j.

Определение. Процессом ортогонализации системы векторов называется способ перехода от любой линейно независимой системы векторов из к ортогональной системе ненулевых векторов .

1.     Пусть .

2.     Положим , найдем коэффициент такой, что :

, отсюда: .

3.     Положим . Найдем :

.

Т.к. векторы ортогональны, то .

Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базами.

11. Определения квадратичной формы, матрицы квадратичной формы, канонического вида квадратичной формы.

 Квадратичной формой   от n неизвестных   называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при   через  , а при произведении     – через  , квадратичную форму Q можно представить в виде

       .

Симметричная матрица   называется матрицей квадратичной формы Q.

Пример.  Написать матрицу квадратичной формы

.

Здесь 

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид

A , где 

Если в квадратичной форме  А  неизвестные подвергнуть линейному преобразованию  , где  ,

получится квадратичная форма   с матрицей  .

  Канонический вид квадратичной формы       Квадратичная форма называется канонической, если все   т. е.

     Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

     1. Ортогональное преобразование пространства  :

где   - собственные значения матрицы A.

     2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если 

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой   и т. д. Если в квадратичной форме все   но есть   то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например,   то полагаем     

     3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры   квадратичной формы отличны от нуля):