Собственные вектора и собственные значения

Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно  , называется собственным вектором²⁾ оператора  . Таким образом, собственный вектор  оператора   удовлетворяет условию  . При этом скаляр   называется собственным значением³⁾ оператора  .

Пример 1. Пусть   — двумерное векторное пространство над полем действительных чисел  , и   — линейный оператор на  , имеющий в некотором базисе   матрицу  . Тогда вектор   является собственным вектором оператора   с собственным значением  , а вектор   — собственным вектором с собственным значением  . В этом можно удостовериться, решив уравнения,

 и  .

Определение 3. Подпространство⁴⁾   называется собственным подпространством⁵⁾ оператора  . Размерность   называется геометрической кратностью⁶⁾ собственного значения  .

Определение 4. Множество всех собственных значений линейного оператора   называется спектром⁷⁾ этого оператора и обозначается символом  . Точка спектра называется простой⁸⁾, если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называется простым⁹⁾, если каждая точка спектра проста.

Предложение 1. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма   является прямой.

Пример 2. Опишем спектр линейного оператора   на векторном пространстве   из примера 1. Так как на двумерном векторном пространстве любой линейный оператор имеет не более двух собственных значений¹⁰⁾, то из примера 1 видно, что   и   образуют простой спектр этого оператора.

11. Теорема о связи характеристического многочлена и собственных значениях линейного оператора.

Определение 5. Характеристическим многочленом оператора   называется многочлен  .

Теорема 2. Характеристический многочлен линейного оператора   не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.

Определение 6. Уравнение   называется характеристическим уравнением оператора  .

Предложение 2. Собственное значение   оператора   является корнем характеристического многочлена, т.е.  . Обратно, любой корень   характеристического многочлена является собственным значением оператора  .

Определение 7. Кратность   как корня многочлена   называется алгебраической кратностью собственного значения   оператора  .

Теорема 3. Геометрическая кратность собственного значения   не превосходит его алгебраической кратности.

11. Линейная модель обмена.

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ — модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней принимаются линейными . Соответственно она может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных уравнений. Причем в ряде случаев нелинейность взаимозависимостей может приводиться к линейной форме путем математических преобразований переменных: напр., в нелинейных соотношениях

в первом и втором случаях логарифмирование обеих частей уравнений обеспечивает связь линейную в логарифмах lny = lnα + βx; lny = lnα + βlnx, а в третьем — линейно зависимы y и 1/x.

Л. м., учитывающую стохастику, в общей форме можно записать так:

y_i = α_i + βx + u_i.