11. Определение линейной зависимости и независимости системы векторов. Формулировка основных свойств линейно независимой системы векторов.

Система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С1·e1+С2·e2+ ...+Сk· ek = 0 возможно только когда все коэффициенты С1, С2, ..., Сk равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С1, С2, ..., Сk — числовые коэффициенты.

Если система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называется линейно зависимой системой векторов.

11. Определение базиса и размерности векторного пространства.

Базисом векторного пространства наз-ся упорядоченный набор e1, e2,..,emлинейно независимых векторов, через которые любой вектор xпространства линейно выр-ся, т.е. сущ-ют такие α1, α2,…,αm, что x=α1l1+α2 l2+…+ αmlm

Размерностью векторного пространства наз-ся число векторов в каком-либо его базисе.

11. Определение матрицы перехода и ее свойства.

Пусть Е = e1,e2…en} и F = Матрица перехода от базиса Е в F = f1,f2…fn} два базиса векторного пространства V. Матрицей перехода от базиса Е к базису Fназывается матрица T , в столбцах которой стоят координаты векторов f1,f2…fn в базисе E … Пусть Т матрица переxода от базиса Е к базису F. Тогда

1. det T не равен 0

2. , , где

Координаты вектора x в базисе E в базисе F

11. Три определения ранга матрицы. Формулировка теоремы о ранге матрицы.

12. Определения однородной СЛУ, фундаментальной системы решений.

Опр. Если все свободные члены равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Полученная система (линейно независимых) решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений

11. Определение и примеры линейного оператора. Матрица линейного оператора и ее свойства.

Пусть E_x и E_y [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E_x ® E_y называется линейным оператором, если для любых элементов х₁ и х₂ пространства E_x и любого комплексного (действительного) числа   выполняются следующие равенства [2]:  1.     А(х₁+х₂) = Ах₁ + Ах₂;  2.     А(  х) =  А(х);  Примеры линейных операторов:  1) Пусть Е = Е₁ – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:  Ax = x для всех x   Е.  Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.  2) Рассмотрим D_[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D_[a,b] задан формулой:  Дf(x) = f^/(x).  Где f(x)   D_{[a, b]}, f^/(x)   C_{[a, b]}.  Оператор Д определен не на всем пространстве C_[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.  3) Рассмотрим пространство С_{[-  , +  ]} – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:  Аf(x) = f(x+a).  Проверим линейность оператора А:  1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).  Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.  2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).  Верна аксиома однородности.  Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.  4) Пусть   (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение  ₁, заданное формулой:  Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то  . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором. 

Свойства

Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица   такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

• Ассоциативность сложения: 

• Коммутативность сложения: 

• Ассоциативность умножения: 

• Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:  . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

• С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

• Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица   существует.

11. Определение характеристического многочлена матрицы, собственного вектора и собственного значения.

    Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения. Определение

Для данной матрицы  ,  , где Е — единичная матрица, является многочленом от  , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение   имеет не нулевое решение, то  , значит матрица   вырождена и ее определитель   равен нулю.

Свойства

• Для матрицы  , характеристический многочлен имеет степень  .

• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.

• Теорема Гамильтона — Кэли: если   — характеристический многочлен матрицы  , то  .

• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают:  .

• Если A и B — две  -матрицы, то  . В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).

• В более общем виде, если A —  -матрица, а B —  -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

.