17. Изучение табличного умножения и деления. Особенности изучения этой темы.

При изучении этой темы следует пользоваться следующие рекомендации: 1. запоминание будет успешным, если одновременно будут изучаться случаи a∙b и b∙a; 2. при изучении каждой новой таблицы необходимо опираться на ранее изученные случаи умножения; 3. таблица умножения должна изучаться с опорой на соответствующие случаи (2+2=4 и 2∙2=4) при этом указывать, что умножение и деление связаны между собой; 4. заучить таблицу можно через многократные вычисления; 5. разнообразные виды заданий, убеждаем детей в практической необходимости таблицы (9∙2=9+9=18 – это 20 без 2; 9∙3=27 – 30 без 3).

Вопросы этого раздела рассматривают в следующем порядке: 1. раскрывают конкретный смысл действия умножения и деления и на этой основе вводятся первые приемы умножения и деления, составляют таблицу умножения двух и деления на 2 (6+6+6+6=24; 6∙4=24 6 – это число берется слагаемым, а 4 – столько раз взяли слагаемым число 6; 2∙2=4→2+2=4,2∙3=6→2+2+2=6; конкретный смысл деления рассматривают в процессе решения простых задач на деление по содержанию и на равные части, на знании конкретного смысла деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами (например: найти частное 8:4, берут 8 кружков, раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получится по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части). 2. изучение переместительного свойства умножения, на основе которого составляют таблицу умножения на 2 (знать это свойство необходимо для усвоения действия умножения, также оно дает возможность почти вдвое сократить число случаев, которые необходимо запомнить наизусть; на основе этого свойства составляется таблица умножения на 2: 2∙2=4, 2∙3=6→3∙2=6). 3. изучение связи между компонентами и результатом действия умножения и деления (на основе этих связей вводятся приемы для табличных случаев деления; связь между компонентами раскрывается с помощью наглядного пособия; например: составить пример по рисунку 4∙3=12, 4-первый множитель, 3-второй множитель, 12-произведение; пользуясь этим же рисунком составьте два примера на деление - 12:4=3, 12:3=4→если произведение разделить на один из множителей, то получим второй), на их основе рассматривают табличные случаи деления с частным 2 (учащиеся по памяти записывают таблицу умножения на 2, затем используют знания связи между компонентами и результатом действия умножения, находят результаты соответствующих случаев деления - 2∙3=6→6:2=3,6:3=2), приемы умножения и деления с числами 1 и 10 (учащиеся решают ряд примеров, находят результат умножения ед. на число сложением: 1∙2=1+1=2, в результате учащиеся приходят к выводу, что при умножении ед. на любое число получим то число, на которое умножали; затем вводится правило умножения на 1: при умножении любого числа на 1 получим то число, которое умножали.; при умножении 10 на однозначные числа ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1дес. умножить на 2, получим 2дес., или 20), а также остальные таблицы умножения и делен (составляют таблицу умножения по постоянному первому или второму множителю→из каждого примера на умножение составляется еще один пример на умножение (переставляют множитель) и два примера на деление – на основе связи между компонентами и результатом умножения; рядом с таблицей примера на умножение учащиеся составляют еще один, умножение (например, 4-х записывают таблицу умножения на 4). 4. вводятся приемы умножения и деления с числом нуль (сначала вводится случаи умножения нуля на любое число - 0∙5,0∙2,0∙7, результат учащиеся находят сложением - 0∙2=0+0=0 →ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль; затем учитель сам вводит правило, что умножение любого числа на нуль считается равным нулю; деление нуля на любое число, не равное нулю, рассматривают на основе связи между компонентом и результатом деления – чтобы 0 разделить, например на 6, надо найти такое число, при умножении которого на 6 получится 0. Это 0, т.к. 0∙6=0→0:6=0→при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю; делить на нуль нельзя, этот факт сообщается детям и иллюстрируется на примере – нельзя 8 разделить на нуль, т.к. нет такого числа, при умножении которого на нуль получим 8.

Особенности в системе Занкова: изучение умножения начинается с работы с числами (в традиционной - действия с предметами). Выделяют этапы работы с таблицей умножения: 1. анализ таблицы сложения, выделение сумм с одинаковыми слагаемыми (2+2=2∙2, 3+3=3∙2→ получают таблицу умножения на 2; в традиционной же таблица умножения 2-х). Этот тип работы позволяет использовать ранее полученные знания, понять, что в математике все взаимосвязано (в частности связь между действиями), а в традиционной - таблица 2х позволяет осознать, что есть операция умножения. В этой системе из таблицы умножения на 2 выводится таблица 2-х. В системе даются задания (2кл, стр. 100, № 234, 238), которые позволяют использовать только что полученные таблицы для составления новых, часто этот этап в традиционной системе игнорируется. 2. составление таблицы умножения на 3 путем трансформации таблицы на 2, можно не использовать переместит закон. Его применение лишь при сокращен 100 результатов до 36. 3. Введение деления, после составления таблиц на 2 и 3 (№ 242). Ребенку сразу толкует, что деление обратно операции умножения (в традиционной системе об этом не говорят), таблицу деления заучивать нет необходимости. 4. знакомство с уравнениями, которые рассматривают в системе Занкова, в отличие от традиционной (алгебраический материал, самостоятельная часть, близко подходящая к арифметическому) как этап знакомства с таблицей умножения. Система уравнений – это некий вывод, обобщение, а в традиционной системе – фон, на котором изучается арифметический материал.

Особенности. в системе Эльконина - Ддавыдова – умножение рассматривается, в отличие от традиционной, как действие, связанное с переходом в процессе измерения величин к новым меркам. А деление – как действие, направленное на определение промежуточной мерки (деление на части) или числа таких мерок (деление по содержанию). Эти действия рассматривают в общей (абстрактной) форме с помощью моделей. Понимание предметного содержания умножения и его свойств позволяет существенно перестроить (по сравнению с традиционной) работу с таблицей умножения (деления). В основу работы положена задача на исследование связи между изменяющимся множителем и разрядной структурой результата→изменен порядок изучения таблиц. Целесообразно начать их конструирование с тех, в которых эта связь обнаруживается в наиболее явном виде (таблицы умножения на 9, 2, 5 и 6). Таблицы умножения на 4, 8, 3 и 7 следует конструировать, опираясь на распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Т.к. поиск закономерности, связывающей результат с изменяющимися множителями, для каждой таблицы представление особых задач, появляется возможности поддержания активного интереса к этой работе на всем ее протяжении. В то же время, поскольку результаты таблицы умножения оказывается прямым продуктом действий учеников, создаются предпосылки для их продуктивного непроизвольного запоминания, что снимает необходимость в специальном заучивании.