№16.Выпуклость кривой. Точка перегиба.

Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.

• Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в двух точках.

• Линия называется вогнутой, если она целиком лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

• Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости:

• если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0;

• если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак:

• если f``(x) везде в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая;

• если f``(x)>0, то линия вогнутая.

Признаки точки перегиба: чтобы х₀ была точкой перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке была равна 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

Асимптота - прямая, к которой график функции стремится, но никогда ее не пересекает.

1. прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) = y, если при х  х₀ |f(x)|   (вида x = b);

2. y = kx + b, y = f(x) - общее уравнение наклонной асимптоты

lim[f(x) - (kx + b)] = 0, f(x) = kx + b + (б.м.в.) по свойству x   пределов. Разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х   f(x)/x = k + b / x + /x,

lim(f(x)/x) = limk + lim(b/x) + lim(/x) x  , то

k = lim(f(x)/x), b = lim[f(x) - kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx + b = y.

k = lim(f(x)/x) = 0, y = b - горизонтальная асимптота. (Др вариант нап см в лекции)

№14Монотонность функции. Критерии возрастания и убывания функции на интервале.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Ф ункция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

  Монотонные функции 

     Функция f строго возрастает (возрастает) на множестве Х:

     Функция f возрастает (не убывает) на множестве Х:

     Функция f строго убывает (убывает) на множестве Х:

     Функция f убывает (не возрастает) на множестве Х:

На показанном на рисунке графике функция y = f (x),   возрастает на каждом из промежутков [a; x₁) и (x₂; b] и убывает на промежутке (x₁; x₂). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x₁) и (x₂; b], но не на объединении промежутков 

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x₁ < x₂ – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x₁) = f (x₂) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

1. Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3. Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

4. Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

5. Если функция f возрастает и неотрицательна, то   где  , также возрастает.

6. Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.

7. Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

• Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

• Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого   (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a)    то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D: 

Если для любого   (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b)    то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D. 

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.