1. Дифференциал функции. Опр. Дифференциал функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

1. Понятие дифференциала:

Пусть функция , определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная =f’(x).

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать

Где -бесконечно малая величина при , откуда .

Таким образом, приращение ф-ции состоит из двух слагаемых: 1)линейного относительно ;2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого прядка, чем , ибо =0).

Орп. Дифференциалом ф-ции называется главная, линейная относительно часть приращения ф-ции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Дифференциал ф-ции независимой переменой равен приращению этой переменной. Т.к.

Прим. Найти диффрнц. ф-ции . Решение: , откуда .

Поэтому формулу для дифференцирования ф-ции можно записать в виде , откуда еперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной , а обычная дробь с числителем и знаменателем .

Т.е. геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х

₀ состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей

на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.

Свойства дифференциала.

С-ва дифференц, фактически аналогичны свойствам производной, одним из отличительных свойств явл. с-во инвариантности форм дифференциала(6).

2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

найти:

№13. Производная сложной и обратной функций.

1. Производная сложной ф-ции.

Пусть переменная есть функция от переменной переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной ,т.е. задана сложная функция .

Теорема. Если - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции существует по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной ,т.е. .

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции соответственно получат приглашение

Предположим, что Тогда в силу дифференцируемости функции можно записать

Где

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций , откуда

Это равенство будет справедливо и при , если полагать, что (т.е. доопределит таким образом функцию при

Разделив обе части равенства: на

.

Т.к. по условию функция

Поэтому, переходя к пределу при в равенстве получим

.

Замечание. Если ограничиться случаями , что при , доказательство теоремы можно провести проще, исходя из очевидного равенства

и переходя в нём к пределу при ч.т.д.

2. Производная обратной функций.

Пусть - дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную рассматривать как аргумент, а переменную как ф-цию, то новая функция

Является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке

Теорема. Для дифференцируемой ф-ции с производной , не равной нулю, производная обратной ы-ции равна обратной величине производной данной ф-ции , т.е. .

Док-ство: По условию ,дифференцируема и .

Пусть

.

Переходя к пределу в равенстве при

. Ч.т.д.