Соотношения между средней арифметической, медианой и модой

Для одномодального симметричного ряда распределения средняя арифметическая, медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений они не совпадают. К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:

Вычисление моды по сгруппированым данным.

,

где x₀ – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);  i – величина модального интервала;  f_Mo – частота модального интервала;  f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;  f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным. 

12) Показатели вариации. Дисперсия и ее вычисления для несгруппированых и сгруппированых данных. Среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариаций. П 5

Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений.^[1] Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.^[

Абсолютные показатели

• размах вариации:

Относительные показатели

• относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

• относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации):

• коэффициент вариации:

Дисперсия и ее вычисления для несгруппированых и сгруппированых данных.

Дисперсией ( ) называется средняя арифметическая величина, полученная из квадратов отклонений значений признака от их средней величины.                                    

По несгруппированным данным она рассчитывается по формуле:

                                            ,                                (7.3)  для сгруппированных данных с неравными частотами:

                                                                     (7.4)

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением(стандартныым отклонением).

Среднее квадратическое отклонение  для несгруппированных данных рассчитывается по формуле:

                                                                                  (7.5)

для сгруппированных данных с неравными частотами:

                                                                        (7.6)

Абсолютные показатели вариации за исключением дисперсии имеют те же единицы измерения, что и исследуемый показатель вариационного ряда. Это затрудняет сравнение вариации в статистических совокупностях, где признаки выражены в  разных единицах измерения. Если признак характеризует численность работников и единицей измерения является количество человек, то дисперсия будет измеряться количеством человек в квадрате.

Дисперсия может быть рассчитана упрощенным способом как разность между средним значением квадратов индивидуальных значений признака и квадрата среднего значения этого же признака:

                                                                            

Среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариаций

Дисперсия, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации

Категория: Учебное пособие по основам научных исследований

Средняя арифметическая служит одной из важнейших характеристик вариационного ряда. Но она ничего не говорит о величине вариации характеризуемого признака. Не содержат такой информации и другие рассмотренные средние показатели. А без учета диапазона изменчивости, размаха вариации нельзя дать полную характеристику изучаемого признака. 

Рассмотрим пример распределения различных величин, средняя этих величин, рассчитанная  по формуле (6.3) равна 10 (табл.6.7),в то же время вариации у них различные.

Чтобы преодолеть недостатки рассмотренного показателя, принято отклонения  вариант от средней  арифметической возводить в квадрат и сумму квадратов отклонений  относить к общему числу наблюдений,т.е. к объему выборки. Этот  показатель характеризует дисперсию и выражается следующей формулой:

                                                     (6.7.)

При возведении отклонений вариант от средней арифметической в квадрат их сумма не превращается в нуль. Кроме того, большие отклонения от средней будучи возведены в квадрат получают и больший удельный вес, оказывая большее влияние на величину показателя вариации.

.