19 Сглаживание временного ряда методом скользящего среднего п 7

_{Одним из методов выделения тренда является сглаживание временного ряда с помощью скользящего среднего. Метод состоит в замене уровней ряда динамики средними арифметическими- за определенный интервал (окно сглаживания), длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.}

Например, при к=2, 2к+1=5

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. В результате сглаживания получается ряд с меньшим количеством уровней, так как крайние значения теряются.

Аналитическое выравниваниевременного ряда – построение аналитической функции, характеризующей зависимость элементов ряда от времени, или тренда.

Для построения тренда используются функции:

• линейная

• гипербола

• экспонента

• степенная функция

• парабола второго и более высоких порядков

• другие виды функций

20, Аналитическое выравнивание временного ряда. Метод наименьших квадратов. П 7

Параметры трендов определяются обычным МНК , в качестве независимой переменной выступает время t=1, 2,…, n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

При аналитическом выравнивании динамического ряда возникает проблема, связанная с выбором функции тренда. Подбор выравнивающей кривой может осуществляться на основе заранее заданных критериев.

Способы определения типа тенденции:

• качественный анализ изучаемого процесса;

• построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени;

• расчет некоторых основных показателей динамики;

• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка;

• перебор основных форм тренда и выбор уравнения тренда по максимальному значению коэффициента детерминации;

• метод конечных разностей.

Метод наименьших квадратов

В большинстве экспериментальных данных, задаваемых с помощью табличной функции, имеется достаточно большой разброс точек. При этом использование кусочной или непрерывной интерполяции не всегда оправдано, поскольку ставится задача исследовать общую тенденцию изменения физической величины.

В этом общем случае аппроксимации искомая кривая не обязательно должна проходить через заданные точки.

Рассмотрим рис. 1, отражающий большой разброс точек. В простейшем случае будем искать аппроксимирующую функцию ф(х) в виде полинома первой степени (прямой):

Рис. 1. Аппроксимация

Таким образом, данная система точек группируется вокруг искомой прямой. Эту прямую легко провести на глаз так, чтобы она наиболее близко подходила к исходным точкам. Однако можно найти уравнение прямой более строгими математическими методами.

Метод наименьших квадратов наиболе часто используют для решения контрольных по эконометрике для нахождения параметров уравнений (линий, степенной функции, гиперболы и т.д.)

Пусть общее количество точек равно n. Отклонение i-й точки от искомой прямой:

Как видно из рис. 2, отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому для того, чтобы определить близость искомой функции к табличным точкам, необходимо составить сумму квадратов всех отклонений.