9) Характеристики центра распределения. Вычисление средней арифметической для несгруппированых и сгруппированых данных п 4

1. Средняя арифметическая

• для не сгруппированных данных ,

для сгруппированных данных ,

где x_i − варианта или середина интервала i-й группы;

n_i − частота i-й группы;

k − количество групп.

1. Медиана Ме(X)

Медиана представляет собой такое значение признака, которое делит объем совокупности пополам в том смысле, что число элементов совокупности со значениями признака, меньшими медианы, равно числу элементов совокупности со значениями признака, большими медианы.

Численное значение медианы можно определить по ряду накопленных частот. Накопленная частота для медианы равна половине объема совокупности:

.

Для интервального ряда сначала определяется интервал, в котором будет находиться медиана. Само же значение Ме(x) может быть приближенно определено с помощью интерполяции

,

где x₀ − начало интервала, содержащего медиану;

 − величина интервала, содержащего медиану;

F(x₀) − накопленная частота на начало интервала, содержащего медиану;

n − объем совокупности;

n₀ − частота интервала, в котором расположена медиана.

2. Мода Мо(Х) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Для дискретного ряда это то значение признака, которому соответствует наибольшая частота распределения.

Для интервального ряда вначале определяется интервал, содержащий моду (с наибольшей частотой). Затем приближенно вычисляется значение моды по формуле

где х₀ – начало интервала, содержащего моду;

− величина интервала;

n₀ – частота интервала, в котором расположена мода;

n-₁ – частота интервала, предшествующего модальному;

n₁ – частота интервала, следующего за модальным.

10) Понятие медианы. Вычисление медианы по сгруппированым данным п 4

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

Посмотреть решение задачи на нахождение моды и медианы Вы можете здесь

В ранжированных рядах несгруппированные данные для нахождения медианы сводятся к поиску порядкового номера медианы. Медиана может быть вычислена по следующей формуле:

где Хm — нижняя граница медианного интервала; im — медианный интервал; Sme— сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала; fme — число наблюдений в медианном интервале.

Свойства медианы

1. Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.

2. Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.

3. Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением X от любой другой величины

Графическое определение медианы

Для определения медианы графическим методом используют накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяют отрезками прямой. Разделив поп олам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находят ординату искомого значения медианы.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины ∑|x_i - Me|=min. 

Вычисление медианы по сгруппированым данным

где x₀ – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);  i – величина медианного интервала;  S_Me-1 – накопленная интервала, предшествующего медианному;  f_Me – частота медианного интервала.