
- •1.Способы задания множеств.
- •2. Операции над множествами.
- •3.Законы алгебры множеств
- •4.Круги Эйлера и диаграммы Венна.
- •5.Уравнения с множествами.
- •6. Функции и отображения.
- •7.Типы отображений.
- •8.Операции над отображениями.
- •9.Подстановки
- •10.Способы представления отношений:
- •11.Опреации над отношениями
- •12.Свойства отношений:
- •13.Отношение эквивалентности
- •14.Отношение порядка.
- •15.Отношение толерантности.
- •16.Выборки элементов. Правило суммы и произведения.
- •17.Перестановки:
- •18.Сочетания.
- •19.Разбиения.
- •20.Бином Ньютона.
- •21.Полиномиальные производящие функции:
- •22.Экспоненциальные производящие функции.
- •23.Метод включений и исключений.
- •24.Рекурретное соотношение.
- •25.Основные понятия и определения теории графов.
- •26.Способы задания графов.
- •Геометрический
- •Список инцидентности
- •27.Определение связности графа методом поиска в глубину.
- •28.Определение связности графа методом поиска в ширину.
- •29. Метод построения дерева путей.
- •30.Определение кратчайших путей в графе методом Форда-Белмана
- •31.Определение кратчайших путей в графе методом Дейкстры.
- •32.Классификация методов кодирования.
- •1.Алфавитное кодирование.
- •2.Кодирование с минимальной избыточностью.
- •3.Помехоустойчивое кодирование.
- •4.Сжатие данных.
- •5.Шифрование.
- •33.Кодовое расстояние.
19.Разбиения.
Набор целых
положительных чисел п1, п2, ...,nк называется
разбиением числа п, если п = п1 + п2 + … +
пк. Числа пi (i= 1, 2, …,k) называют частями,
а их сумму n — характеристикой
разбиения. При подсчете числа возможных
разбиений могут учитываться
дополнительные условия — тип
разбиения, величины и общее число
частей, число повторений. Так, для
числа 4 имеется 5 разбиений без ограничений
(4, 31, 22, 211, 1111) и восемь разбиений с учетом
порядка частей (4,31,13, 22, 211, 121, 112, 1111).
Число 8 разбивается на три части пятью
способами: 611, 521, 431, 422, 332. Если принять
в качестве производящей функции для
разбиения числа п без ограничений р(п)
многочлен р(х) – р(0) + p(1) х + р(2)х2 + ...,
определяется множителем (1 +
)и,
следовательно имеем:
p(x)=(1+x+
…
Из этого соотношения получаем производящие функции при ограничениях, накладываемых на численные значения частей. Если все части разбиения не превосходят числа k, то
Для разбиений, все
части которых различны, имеем
u(x)=(1+x)(1+
, а разбиения на нечетные части
перечисляются функцией
20.Бином Ньютона.
Поставим в соответствие каждому объекту из множества {α1, α2, …, αn} двучлены вида
1 + αi ·x (i = 1, 2, …, n) (7)
и перемножим их:
(1 + α1 ·x) (1 + α2 ·x)… (1 + αn ·x) = 1 + a1x + a2x2 + … + anxn. (8)
Коэффициент ar многочлена представляет собой сумму произведений, каждая из которых образуется r элементами из n (r-сочетания), причем всего в ar имеется C(n, r) таких произведений. Если положить α1 = α2 =…= αn = 1, то любое произведение r-сочетаний элементов равно единице и, следовательно,
(9)
Таким образом
(10)
Это выражение называют бином Ньютона, а r-сочетания из n различных элементов C(n,r) являются биноминальными коэффициентами.
Определив каким-либо
образом ar, найдем и значение C(n, r).
Обратно, вычислив числа сочетаний из
n элементов по r = 0, 1, …, n, получим
коэффициенты разложения
.
С помощью бинома Ньютона можно вывести различные формулы для сочетаний. Так, положив x = 1 и x = -1 имеем
,
(11)
(12)
Формула (11) определяет количество всех подмножеств некоторого множества.
Произведение (1 + α1 ·x) (1 + α2 ·x)… (1 + αn ·x) порождает r-сочетания, в которых каждый элемент из множества объектов {α1, α2, …, αn} может появляться не более одного раза. Очевидно, для других типов сочетаний следует подобрать и другой вид сомножителей. Если объект αi может входить в сочетания 0, 1, 2, 3, …k раз, то вместо 1+αi·x следует взять сомножитель
1 + αi x + αi2x2 + … + αikxk (13)
(при k = 0 сомножитель равен единице).
Тогда при α1 = α2 =…= αn = 1 коэффициенты ar многочлена
A(x) = 1 + a1x + a2x2 + … + anxn (14)
представляют собой r-сочетания из n различных элементов с повторениями.
Например, для r-сочетаний из трех элементов a, b, c со спецификацией {3, 1, 2} имеем: (1 + x + x2+ x3)(1 + x)( 1 + x + x2) = 1 + 3x + 5x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 + x6
Здесь коэффициент при xr дает искомое число r-сочетаний. Т. е. имеется три 1-сочетаний (a, b, c), пять 2-сочетаний (aa, ab, ac, bc, cc), шесть 3-сочетаний (aaa, aab, aac, abc, acc, bcc), пять 4-сочетаний (aaab, aaac, aabc, aacc, abcc), три 5-сочетаний (aaabc, aaacc, aabcc), одно 6-сочетание (aaabcc).