19.Разбиения.

Набор целых положительных чисел п1, п2, ...,nк называется разбиением числа п, если п = п1 + п2 + … + пк. Числа пi (i= 1, 2, …,k) называют частями, а их сумму n — ха­рактеристикой разбиения. При подсчете числа возможных разбие­ний могут учитываться дополни­тельные условия — тип разбие­ния, величины и общее число ча­стей, число повторений. Так, для числа 4 имеется 5 разбиений без ограничений (4, 31, 22, 211, 1111) и восемь разбиений с учетом поряд­ка частей (4,31,13, 22, 211, 121, 112, 1111). Число 8 разбивается на три части пятью способами: 611, 521, 431, 422, 332. Если принять в качестве производящей функции для разбиения числа п без ограничений р(п) многочлен р(х) – р(0) + p(1) х + р(2)х2 + ..., определяется множителем (1 + )и, следовательно имеем:

p(x)=(1+x+

…

Из этого соотношения получаем производящие функции при ограничениях, накладываемых на численные значения частей. Если все части разбиения не превосходят числа k, то

Для разбиений, все части которых различны, имеем u(x)=(1+x)(1+ , а разбиения на нечетные части перечисляются функцией

20.Бином Ньютона.

Поставим в соответствие каждому объекту из множества {α1, α2, …, αn} двучлены вида

1 + αi ·x (i = 1, 2, …, n) (7)

и перемножим их:

(1 + α1 ·x) (1 + α2 ·x)… (1 + αn ·x) = 1 + a1x + a2x2 + … + anxn. (8)

Коэффициент ar многочлена представляет собой сумму произведений, каждая из которых образуется r элементами из n (r-сочетания), причем всего в ar имеется C(n, r) таких произведений. Если положить α1 = α2 =…= αn = 1, то любое произведение r-сочетаний элементов равно единице и, следовательно,

(9)

Таким образом

(10)

Это выражение называют бином Ньютона, а r-сочетания из n различных элементов C(n,r) являются биноминальными коэффициентами.

Определив каким-либо образом ar, найдем и значение C(n, r). Обратно, вычислив числа сочетаний из n элементов по r = 0, 1, …, n, получим коэффициенты разложения .

С помощью бинома Ньютона можно вывести различные формулы для сочетаний. Так, положив x = 1 и x = -1 имеем

, (11) (12)

Формула (11) определяет количество всех подмножеств некоторого множества.

Произведение (1 + α1 ·x) (1 + α2 ·x)… (1 + αn ·x) порождает r-сочетания, в которых каждый элемент из множества объектов {α1, α2, …, αn} может появляться не более одного раза. Очевидно, для других типов сочетаний следует подобрать и другой вид сомножителей. Если объект αi может входить в сочетания 0, 1, 2, 3, …k раз, то вместо 1+αi·x следует взять сомножитель

1 + αi x + αi2x2 + … + αikxk (13)

(при k = 0 сомножитель равен единице).

Тогда при α1 = α2 =…= αn = 1 коэффициенты ar многочлена

A(x) = 1 + a1x + a2x2 + … + anxn (14)

представляют собой r-сочетания из n различных элементов с повторениями.

Например, для r-сочетаний из трех элементов a, b, c со спецификацией {3, 1, 2} имеем: (1 + x + x2+ x3)(1 + x)( 1 + x + x2) = 1 + 3x + 5x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 + x6

Здесь коэффициент при xr дает искомое число r-сочетаний. Т. е. имеется три 1-сочетаний (a, b, c), пять 2-сочетаний (aa, ab, ac, bc, cc), шесть 3-сочетаний (aaa, aab, aac, abc, acc, bcc), пять 4-сочетаний (aaab, aaac, aabc, aacc, abcc), три 5-сочетаний (aaabc, aaacc, aabcc), одно 6-сочетание (aaabcc).