Теорія масового обслуговування

1.Сутність системи масового обслуговування.

2. Класифікація СМО

3.Характеристика найпростішого потоку вимог

4. Розрахунок основних параметрів СМО.

В управлінні економічними системами часто зустрічаються специфічні імовірносні моделі, що відображають особливості, які піддалися дії потоку тих або інших подій.

Такі моделі масового обслуговування поведінки систем утворюють так звані системи масового обслуговування.

Прикладами СМО можуть бути: телефоні станції, квиткові каси, ремонтні майстерні, довідкові бюро.

Кожна СМО складається з певної кількості обслуговуючих одиниць, які називають каналами обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв’язку, касири, робочі точки, продавці.

СМО можуть бути:

-Одноканальна

-багатоканальна

СМО призначені для обслуговування певного потоку заявок(висог) які поступають у випадковий момент часу.

Обслуговування заявки триває протягом деякого випадкового часу t(обсл.) після чого канал звільняється і готовий до наступної заявки.

Випадковий характер потоку заявок і часу обслуговування призводить до того, що в певні періоди часу на вході СМО накопичується надмірна кількість заявок(вони або стають в чергу, або залишають СМО не обслуженим) в інші періоди СМО буде недозавантажена або взагалі простоюватиме.

Процес роботи СМО представляє собою випадковий процес з дискретними станами і неперервним часом.

Стан СМО змінюється скачками в моменти появи певних подій(або приходу нової хаявки, або завершення обслуговування, або моменту коли заявка….

Предметом теорії МО- побудова математичних моделей, які пов’язують задані умови роботи, характер потоку заявок) із характеристиками, що зацікавлять дослідника - показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.

В якості показників ефективності СМО можуть застосовуватися різноманітні величини:

• Середня кількість заявок в черзі

• Середній час очікування заявок в черзі

• Середній час очікування обслуговування

• Середня кількість вимог, що можуть обслуговуватись СМО за одиницю часу

• Середній відсоток вимог, що одержують відмову і залишають СМО

• Йсовірність того, що к-сть заявок в черзі перевищить певне значення

Основними елементами СМО є:

• Вхідний потік вимог

• Черга вимог

• Канали обслуговування

• Вихідний потік вимог

Математисний аналіз роботи СМО дуже спрощується, якщо процес цієї роботи – марківський. Для цього достатньо, щоб усі потоки подій, що переводять систему із стану в стан( потоки заявок, потоки “обслуговування”)

2.

В залежності від умов очікування СМО поділяються на : СМО з відмовою і СМО з чергою.

СМО з чергою поділяються на різні види, в залежності від того, як організована черга: обмежена вона, чи необмежина.

Щодо дисципліни обслуговування

• В порядку надходження(fifo, lifo)

• випадково;

• з пріоритетом (абсолютний, відносний).

Розрізняють СМО з так званим багатофазовим обслуговуванням, яке складається із кількох послідовних етапів або "фаз" (наприклад, споживач, який прийшов в супермаркет, спочатку повинен залишити речі на зберігання, вибрати товар, зважити товар, оплатити товар на касі).

• За кількістю етапів обслуговування:

• однофазні – один етап обслуговування;

• багатофазні – два і більш етапів.

• За місцем знаходження джерел заявок:

• замкнені;

• відкриті.

У відкритій СМО характеристика потоку заявок не залежить від того, в якому стані сама СМО (скільки каналів зайнято). Джерело заявок знаходиться поза СМО.

В замкненій СМО джерело заявки знаходиться в системі і робить на неї вплив. Тобто характеристика потоку заявок залежить від того, в якому стані сама СМО.

В залежності від інтервалу між моментами настання події (Т – інтервал між двома моментами часу):

регулярні – Т-const;

випадкові – Т-випадковий.

Щодо постійності властивостей вірогідності:

стаціонарні;

нестаціонарні.

Залежно від зв'язку майбутньої поведінки з минулим:

з післядією;

без післядії.

За числом заявок в одній події:

ординарні – події відповідає одна заявка;

неординарні - події відповідає випадкове число заявок.

В залежності від типу СМО при оцінці її ефективності можуть використовуватись різні показники ефективності.

Наприклад, для СМО з відмовою однією з найважливіших характеристик є:

абсолютна пропускна здатність – середня кількість вимог, які може обслужити система за одиницю часу;

відносна пропускна здатність – відношення середньої кількості вимог, що були обслужені системою за одиницю часу до середньої кількості вимог, що поступили за цей час.

3.

Потоком вимог називають послідовність вимог, які поступають у випадкові моменти часу.

Найпростішим (пуассонівським) називають потік вимог, який характеризується трьома властивостями:

1. Стаціонарністю.

2. Відсутністю післядії.

3. Ординарністю.

Властивість стаціонарності полягає в тому, що ймовірність появи k вимог в будь-якому проміжку часу залежить тільки від числа k і від тривалості t проміжку часу і не залежать від його відрахунку. Тобто, ймовірність появи k вимог за проміжок часу довжиною t є функція, що залежить тільки від k і t.

Властивість "відсутність післядії" полягає в тому, що ймовірність появи k вимог в будь-якому проміжку часу не залежить від того, виникала чи не виникала вимога в моменти часу, що передують початку розглядуваного проміжку. Тобто, передісторія потоку вимог не впливає на ймовірність появи вимог в майбутньому.

Властивість ординарності полягає в тому, що поява двох чи більше вимог за малий проміжок часу практично неможлива. Тобто, ймовірність появи більше однієї вимоги за малий проміжок часу є малою в порівнянні з ймовірністю появи тільки однієї вимоги.

Якщо вхідний потік вимог є пуассонівським, то інтервал часу Т між вимогами в цьому потоці (час обслуговування вимог) є випадковою величиною, розподіленою за показниковим законом:

де λ – інтенсивність потоку вимог.

Інтенсивністю потоку вимог λ називають середнє число вимог, які обслуговуються за одиницю часу

4.

Основними характеристиками, які розглядаються при аналізі процесу, що проходить в СМО, є:

• число каналів n;

• інтенсивність потоку вимог λ;

• продуктивність кожного каналу μ (середня кількість вимог, що обслуговуються каналом за одиницю часу);

• умови утворення черги (обмежена чи ні).

Розглянемо найпростішу задачу теорії масового обслуговування – задачу функціонування одноканальної СМО з відмовою (тобто n=1).

Постановка задачі. СМО складається лише з одного каналу, на неї поступає пуассонівський потік вимог з інтенсивністю λ, що залежить від часу:

λ=λ(t).

Якщо канал зайнятий, вимога одержує відмову і покидає систему.

Обслуговування вимоги триває протягом випадкового часу, тобто потік обслуговування – найпростіший, з інтенсивністю μ (неперервно зайнятий канал видає обслужені вимоги потоком з інтенсивністю μ):

Потрібно знайти:

Абсолютну пропускну здатність (А).

Відносну пропускну здатність (q).

Розглянемо єдиний канал обслуговування як фізичну систему S, що може знаходитись в одному з двох станів:

S₀ – вільна (ймовірність цього стану р₀(t);

S₁ – зайнята (ймовірність цього стану р₁(t).

Із стану S₀ в стан S₁ систему переводить потік вимог з інтенсивністю λ;

із стану S₁ в стан S₀ – обслужені вимоги з інтенсивністю μ.

р₀(t)+ р₁(t)=1

Використовуючи диференціальні рівняння Колмогорова для ймовірностей станів, можна записати, що:

З алежність р₀(t) від часу можна зобразити наступним чином:

При t=0 канал вільний (р₀(t)=1). Із зростанням t р₀(t) зменшується,

при t

Величина р₁(t) доповнює р₀(t) до одиниці і зростає при збільшенні t.

Для одноканальної СМО з відмовою:

р₀(t)=q₀.

Оскільки р₀(t) – ймовірність того, що в момент часу t канал вільний, тобто ймовірність того, що вимога, яка надійшла в момент часу t, буде обслужена. Для моменту часу t середнє відношення кількості обслужених вимог до кількості вимог, що поступили, також рівне р₀(t):

q₀=р₀(t).

В границі, при t , коли процес обслуговування вже встановиться, граничне значення відносної пропускної здатності буде становити:

Знаючи відносну пропускну здатність (q – ймовірність того, що вимога буде обслужена в момент часу t), можна знайти абсолютну (А):

А=λq

(А/λ=q).

В границі:

Знаючи відносну пропускну здатність системи q, можна знайти ймовірність відмови р_відм (середня частка необслужених вимог серед поданих).

р_відм=1-q.

В границі (t)

Приклад. Одноканальна СМО з відмовою являє собою одну телефонну лінію. Вимога, що надходить в момент t і лінія зайнята, залишає систему (одержує відмову). Інтенсивність потоку вимог λ=0,8 (викликів за 1 хв.). Середня тривалість розмови t_обсл=1,5 хв. Всі потоки вимог – найпростіші. Визначити граничні (t) значення:

Відносної пропускної здатності (q).

Абсолютної пропускної здатності (А).

Ймовірності відмови р_відм.

Номінальна пропускна здатність каналу А_ном:

Номінальна пропускна здатність каналу майже вдвічі більша за фактичну, що враховує випадковий характер потоку вимог і випадковий час обслуговування.

Номінальна пропускна здатність каналу – це пропускна здатність каналу за умови, що кожна розмова триває рівно 1,5 хв. і вимоги слідують одна за одною без перерви.

Для одноканальної СМО з очікуванням визначимо наступні характеристики:

Середній час очікування в черзі (t_очік):

Середній час перебування вимоги в системі (t_сист).

Час перебування вимоги в системі складається із двох випадкових величин:

t_сист= t_очік+θ

де t_очік – час очікування в черзі;

θ – випадкова величина, що дорівнює часу обслуговування t_обсл, якщо вимога обслуговується, і нулеві, якщо вимога не обслуговується, тобто одержує відмову.