31.Лінійні оператори. Приклади.

Линейный оператор, обобщение понятия линейного преобразования на линейные пространства. Линейным оператором F на линейном пространстве Е называют функцию F(x), определённую для всех х Î Е, значения которой суть элементы линейного пространства E1, и обладающую свойством линейности: F((x + (у) = (F(x) + (F(y).

32.Матриця лінійного оператора.

МЛН – матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, что бы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы. Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матриц на столбец этого вектора в том же базисе. Выберем базис Ек. Пусть х – произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису: x=x^k*Ek, где x^k – координаты вектора в заданном базисе.

33.Ядро. Образ лінійного оператора.

A: ZàM

Ker A={x є Z , Ax=0} – ядро Образ оператора Im A={y є M, Ǝ x є Z: Ax=y}

Ф: E²àE² D: P4(x)àP3(x)

Ф- оператор повороту на кут D – оператор похідної

Ker Ф ={ō} Ker D ={C: C-const}

Im Ф= E² Im D=P3(x)

Твердження

1) Ker A c Z

2) Im A c M

A: ZàM

x є Z

y є M

x,x' є Ker A

Ax=0

Ax'=0

A(αx)= αAx= α*0=0 => αx є Ker A => Ker A c Z

A(x+x')=Ax+Ax'=0+0=0 => x+x' є Ker A

35) Лінійні та полілінійні функціонали. Симетричність та кососиметрчність.

fi: £→R. x є R. fi(x) є R. Функціонал наз. лін, якщо вик. власт: 1) х, х` є R. fi(x) є R. fi(αx) = α*fi(x). 2) fi(x+x`)=fi(x)+fi(x`). Біл. функц. Fi(x,y) = z*£→R. x,x`,y,y` є £. 1) fi(αx, y) = αfi(x,y) = fi(x, αy). 2) fi(x+x`,y)=fi(x,y)+fi(x`,y). fi(x,y+y`)=fi(x,y)+fi(x,y`). Fi(x,y) – симметр.: fi(x,y)=fi(y,x). fi(x,y) – кососим.: fi(x,y) = -fi(y;x).

36.Визначники n-того порядку , його властивості.

Визначник n-го порядку –значення n-лінійного кососиметричного функціоналу на елемент з простору Rn

Свойства определителей:

1)Определитель не измениться если его строки поменять местами со столбцами и наоборот.

2)При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак

3) Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю.

4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует , что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

5)Если элементы какого-либо ряда представляют собой суммы двох слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двох соответствующих определителей.

6) («Элементарное преобразование определителя») Определитель не измениться, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы пааллельного ряда умноженные на любое число.

7) («Разложение определителя по элементам некоторого ряда») Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие алгебраические дополнения

8) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю

Так, например, а11А21+а12А22+а13А23=0