20.Основна теорема алгебри (без доведення) , її наслідки.

Число f(x₀) – остача від ділення на f(x) на (x-x₀)

Остача від ділення многочлена P(x) на двочлен (x-a) дорівнює P(a)

Def. Якщо ділення многочлена P(x) на двочлен (x-a) дає остачу R, тоді P(x) можна записати у вигляді P(x)=(x-a)Q(x)+R, де Q(x) –многочлен нижчого степеня. Значення P(x) в т.А дорівнює P(a)=(a-a)Q(a)+R=R, що й треба було довести. P(a)=0 (тобто n є коренем многочлена), коли R=0.

Наслідок

Якщо x₀ – розв’язок многочлена f(x), то многочлен f(x) ділиться націло на (x-x₀).

Основна теорема алгебри

Наслідок 1.

Довільний многочлен n-ого степеня має n розв’язків, з урахуванням їх кратності.

Delta f(x); ст. f(x)=n

X₁ – розв’язок f(x)

f(x)=(x-x₁)p₁(x)

ст. p₁(x)=n-1

x₂ – розв. P₁(x)

p₁(x)=(x-x₂)p₂(x)

f(x)=(x-x₁)(x-x₂)p₂(x) і т.д.

Наслідок 2

Многочлен f(x) степеня n можна представити як:

f(x)=a₀(x-x₁)^£1(x-x₂)^£2…(x-x_s)^£s

£₁+£₂+…£_s=n

Наслідок 3.

Якщо значення 2-ч многочленів f(x) і g(x) в степені n, співпадають в т. x₁,x₂,x₃,…,x_n+1 то f(x) i g(x) тотодні.

f(x_i)=g(x_i)f(x)=g(x)

доведення

F(x)=f(x)-g(x)

ст. F(x)n

F(x_i)=f(x_i)-g(x_i)=0

кільк.розв. F(x)nF(x_i)0f(x)g(x).

Наслідок 4.

Якщо многочлен f(x) з дійсними коефіцієнтами своїм розв’язком має число z=a+bi, то його розв’язком буде і комплексно спряжене число z=a-bi

Доведення

z=z  z є R

z_1*z₂=z₁z₂

z₁+z₂=z₁+z₂

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…a_n-1­x+a_n

z₀ – розв. f(x)

f(z₀)=0

f(z₀)=a₀(z₀)ⁿ+a₁(z₀)^n-1+…+a_n-1z₀₊a_n=a₀z₀ⁿ+a₁z₀^n-1+…+a_n-1z₀+a_n=a₀z₀ⁿ+a₁z₀^n-1+…+a_n-1z₀+a_n=f(z₀)=0=0

Наслідок 5.Довільний мн. f(x) з дійчним коеф.завжди можна представити у вигляді добутку многочлена у степені не вище 2 з дійсними коеф.

f(x)=a₀(x-x₁)^£1(x-x₂)^£2…(x-x_s)^£s(x²+a₁x+b₁)^p1(x²+a₂x+b₂)^p2…(x²+a_i­x+b_i)^pi

x₁,x₂,...,x_s є R – дійсні розв’язки f(x)

a₀,a_i,b_i є R

f(x)mod(x-z₀)(x-z₀)

26. База , ранг системи векторів.

Пусть задана система векторов a1, a2, ..., am (1)

Выделим из этой системы подсистему ai1, ai2, ..., air (2), где числа i1, i2, ir - какие-то из чисел от (1; m). Подсистема (2) является максимальной линейно независимой подсистемой или базисом системы (1), если векторы системы (2) линейно независимы, а любой вектор системы (1) является их линейной комбинацией.

Пример: e1и e2 являются базисом всех двухмерных векторов (e1 по оси 0x, а e2 по оси 0y).

A= c1e1+ c2e2.

В одной и той же системе векторов может быть несколько базисов, но число векторов в каждом базисе одно и то же.

Два различных базиса одной и той же системы векторов содержит одинаковое количество векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы, т.е. рангом системы векторов является максимальное число линейно независимых векторов системы.

Ранг «r» R2= 2. Система, состоящая более чем из n n-мерных векторов линейно зависима. Отсюда следует, что базис любой системы векторов состоит из конечного числа векторов и оно не превосходит n.

Rn будет иметь максимальное число линейно независимых векторов n (размерность - n). Любой базис n-мерного векторного пространства содержит n векторов

27.Лінійні простори , підпростори. Приклади.

Линейным пространсвом L над полем К называеться множество снабженное бинарной операцией L*L->L, обычно обозначаемой как сложение: (l1, l2)-> (l1+l2) и внешней бинарной операцией К*L->L, обычно обозначаемой как умножение : (а, l)->a*l, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1)Сложение элементов L, или векторов, превращает L в коммутативную(абелеву) группу. Ее нулевой элемент обычно обозначаеться 0; элемент обратный к l, обычно обозначаеться –l;

2) умножение векторов на элементы поля К, или скаляры, унитарно, т. е. 1*l=l для всех l, и ассоциативно, т.е. а(bl)=(ab)l для всех а, b Є K; lЄ L

3) сложение и умножение связанны законами дистрибутивности

Пусть L линейное пространство над полем К, а М его подмножество, которое являеться подгруппой и которое переходит в себя при умножении на скаляры. Тогда М вместе с операциями, индуцированными операциями в L (другими словами ограничениями на М операций, определенных в L), называеться линейным подпространством в L, а условия, определяющие принадлежность к М общего вектора из L, называються линейными условиями.

Приклади лінійних просторів:

R, C, E1, E2, E3.