- •3. Декартові системи координат 4
- •1. Вектори на площині і в просторі. Лінійні операції над ними.
- •Множення на скаляр
- •Додавання
- •2. Базис на прямій, площині, у просторі
- •Властивості
- •14. Лінійно залежні і незалежні системи векторів.
- •15) Полярная система координат
- •16. Рівняння прямої на площині
- •25.Директриса та ексцентриситет еліпса та гіперболи.
- •17 Многочлени , дії над ними.
- •20.Основна теорема алгебри (без доведення) , її наслідки.
- •26. База , ранг системи векторів.
- •27.Лінійні простори , підпростори. Приклади.
- •30.Базис, розмірність лінійного простору.
- •31.Лінійні оператори. Приклади.
- •32.Матриця лінійного оператора.
- •33.Ядро. Образ лінійного оператора.
- •35) Лінійні та полілінійні функціонали. Симетричність та кососиметрчність.
- •36.Визначники n-того порядку , його властивості.
- •37.Обчислення визначників n-того порядку.
- •33 Обернена матриця , її обчислення.
- •38.Комплексні числа, різні способи представлення. Дії над комплексними числами.
- •35 Ранг матриці. Обчислення рангу матриці зведенням її до трапеціального вигляду.
- •36 Метод обвідних мінорів обчислення рангу матриці.
- •40.Корені многочленів.
- •41.Теорема Безу, її наслідок.
- •43.Нсд двох многочленів . Алгоритм Евкліда.
25.Директриса та ексцентриситет еліпса та гіперболи.
Ексцентриситет — числова характеристика конічного перерізу, яка показує ступінь його відхилення від кола, і дорівнює відношенню відстаней: від будь-якої точки конічного перерізу до фокусу та від цієї точки до директриси.
Для еліпса: Число e = c/a = корінь кв.(1 - b2/a2) - це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу ексцентриситет більший нуля та менший за одиницю.
Для гіперболи: Число e = c/a = корінь кв.(1 - b2/a2) - це ексцентриситет гіперболи, який більший за одиницю.
Директри́са — пряма лінія, що лежить в площині перерізу конічної поверхні і має таку властивість, що відношення відстаней від будь-якої точки кривої до найближчого фокусу та до цієї прямої є величина стала, і дорівнює ексцентриситету відповідної кривої.
Для еліпса: Прямі, рівняння яких x = -a/e i x = a/e називаються директрисами еліпса; співвідношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету. Залежність між ними виражається формулами: a2 = b2 + c2, e = c/a.
Для гіперболи: х = а2/с = а*а/с, а/с < 1, x<a, a2 + b2 = c2
17 Многочлени , дії над ними.
Формулы для многочленов и операции над многочленами. Напомним какое выражение называется многочленом. Одночленом степени k (здесь k є N ) называется следующее выражение ak Xk , где ak є R - коэффициент, x - переменная. Многочленом n- ой степени (здесь n є N ) с вещественными коэффициентами ai , i = 0,1, …, n называется следующее выражение: Pn(x) = an Xn + an-1 xn-1 + … + a0, здесь x є R - переменная. Можно сказать, что многочлен - это линейная комбинация одночленнов разных степеней. Операции над многочленами: Пусть Pn(x), Qm (x) два многочлена степени n и m соответственно, т.е. Pn(x) = an Xn + an-1 xn-1 + … + a0, Qm(x) = bm Xm + bm-1 xm-1 + … + b0 предположим, что n ≥ m. Сумма и разность многочленов: Pn(x) ± Qm (x). Суммой Pn(x) и Qm (x) разностью многочленов и называется следующий многочлен: Rn(x) = Pn(x) ± Qm (x) = an Xn + an-1 xn-1 + … + (am ±bm)Xm + (am-1 ± bm-1)xm-1 + a0 ± b0 Степень полученного многочлена Rn(x) не превосходит максимальной степени многочленов Pn(x) и Qm(x). Умножение на одночлен: ak Xk Pn(x). Умножим одночлен ak Xk на многочлен Pn(x) : ak Xk Pn(x) = ak Xk (an Xn + an-1 xn-1 + … + a0 ) = ak an Xn+k + ak an-1 xn-1+k + … + ak a0 Xk, т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями. Умножение многочленов: Pn(x)Qm (x). Умножим многочлен Pn(x) на Qm (x) : Pn(x)Qm (x) = (an Xn + an-1 xn-1 + … + a0 )( bm Xm + bm-1 xm-1 + … + b0 ) = an Xn (bm Xm + bm-1 xm-1 + … + b0 ) + an-1 xn-1(bm Xm + bm-1 xm-1 + … + b0 ) + … + a0(bm Xm + bm-1 xm-1 + … + b0 ). В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени n и m получается многочлен степени (n + m) . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Деление многочленов: Pn(x)/Qm(x). Разделим многочлен Pn(x) на Qm(x), т.е. представим выражение Pn(x)/Qm(x) в следующем виде: Pn(x)/Qm(x) = Rn-m(x) + rm-1(x)/Qm(x), где Rn-m(x) - частное от деления, Pn(x) - делимое, Qm(x) - делитель, rm-1(x) - остаток. При делении многочлена Pn(x) на многочлен Qm(x) , где n ≥ m , нужно найти многочлены Rn-m(x) и rm-1(x) такие, чтобы выполнялось равенство Rn-m(x) Qm(x) + rm-1(x) = Pn(x)