Властивості
Визначник матриці при транспонуванні не змінюється:
=
Розрахуємо визначник транспонованої матриці (у даному разі за правилом трикутника) і прирівняємо до визначника матриці
det
=
=det
A
Якщо кожний елемент певного стовпчика чи рядка визначника є сумою двох доданків, то такий визначник можна представити у вигляді сумми двох:
= +
Розкриваємо за відповідним стовпчиком чи рядком і групуємо відповідні елементи – отримуємо два розклади визначників.
Якщо 2 рядки або2 стовпчики визначника поміняти місцями, то знак визначника зміниться на протилежний:
D(
) = D
(
)
= D
(
)
= -D
(
)
= -D
(
)
= -D
(
)
Розрахуємо визначник матриці за правилом трикутника:
=
=
-(
)
= -
Множення деякого рядка або стовпця визначника на число λ рівносильне множенню визначника на число λ
D(
) = λ*D(
) =
D(λ*
)=
λ
)
=
= =λ*(
)=
Якщо визначник має два однакових рядка або стовпчика, то він дорівнює нулю.
Згідно з (3)Якщо 2 рядки або2 стовпчики визначника поміняти місцями, то знак визначника зміниться на протилежний.
D(
)= - D(
) =>
2D(
)=0 Отже D(
)=0
Якщо всі елементи деякої строки або стовпця дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
Витікає з (4) при λ=0
Якщо визначник має два пропорційних рядка або стовпчика, то він дорівнює нулю.
D(
) =0
D( ) =λ* D( ) =0 (Згідно з (4), (5) )
Якщо до деякого рядка або стовпця додати лінійну комбінацію інших, визначник не зміниться.
D(
)=
D(
)
D(
)= D(
)
+ D(
)
= D(
)
+ 0 = D(
)
Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
Мінором
визначника
n
–ого порядку називається визначник n
-1 порядку, який отримано шляхом викреслення
i-того
рядка та
j
–того стовпчика.
*
- алгебраїчнe
доповнення
=
*
-
*
+
-
розклад за 1-им рядком
Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.
*
+
*
-
=
=
0
Визначник одиничної матриці дорівнює одиниці.
= 1
14. Лінійно залежні і незалежні системи векторів.
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, т.е. факторы единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым. 24 Лінійні оболонки.
£- лінійний простір
L c(включається) £. L – Лінійний підпростір, якщо вона сама є лінійним простором.
Якщо x Є L=> x Є £.
Х1, Х2, …, Хn Є £
Лінійна оболонка позначається Λ
Λ (Х1, Х2… Хn ) = { t Є £ : t = λ1Х1 + λ2Х2 + λ2Х2 + …+λnХn, де λn Є R } – це сукупність усіх можливих лінійних комбінацій даних елементів.
Приклади:
Λ(X)=E1 t= λХ, λ Є R
Λ(Х1 ,Х2 )= { t : t = λ1Х1 + λ2Х2}= E2
Твердження:
Λ (Х1, Х2… Хn ) c £
t =∑ni=1 λiХi ЄΛ
z= ∑ni=1 βiХi ЄΛ
t+z=∑ni=1 (λi+βi) Хi ЄΛ
γt=∑ni=1 (γλ)iХi ЄΛ => Λ c £.