2. Базис на прямій, площині, у просторі
E1 – множина колінеарних векторів.
Базисом в множині E1 може бути будь-який ненульовий вектор, паралельний даній прямій.
Ненульовий вектор є базисом множини E1 коли:
Покажемо, що це виконується:
1)
тоді
+
2)
тоді
+
2. E2 – множина компланарних векторів.
Базисом в множині E2 можуть бути будь-які два неколінеарні вектори,
паралельний даній площині.
Неколінеарні вектори
та
є
базисом множини E2
коли:
Існує класична фраза: «коли ми можемо будь-який вектор з множини розкласти на базиси».
3.E3 – множина всіх векторів.
Базисом в множині E3 можуть бути будь-які три некомпланарні вектори.
Некомпланарні вектори
,
та
є
базисом множини E3
коли:
Ще
одна класична фраза: «вектор
є
лінійною комбінацією векторів базису».
3. Декартові системи координат
Декартові корд.А = проекціям
,
,
1. «Права» трійка векторів
c
В
b
порядкована трійка векторів
називається правою,
якщо з кінця вектора
найменший
з поворотів від
до
відбувається
проти годинникової стрілки.
a
2. Декартів прямокутний базис
Трійка векторів
складає
прямокутний «Декартовий»
базис у просторі, якщо:
всі вектори взаємно перпендикулярні (ортогональні);
всі вектори одиничні:
;вектори складають праву трійку.
3. Декартові системи координат
Кажуть, що у тривимірному просторі введено прямокутну декартову систему координат, коли:
задано певну точку О, що називається початком координат;
введено прямокутний декартів базис
Осі Ох, Oy та Oz, проведені через точку О вздовж векторів декартового базису, називаються осями координат: абсцис, ординат та аплікат відповідно.
4. Скалярний добуток векторів. Його властивості.
-
скалярна величина
Властивості
І Алгебраїчні
1˚
(комутативність)
2˚
(лінійність)
3˚
(дистрибутивність)
ІІ Геометричні
1)
┴
2)
3)
5. Проекція вектора на напрямок
Def
Властивості:
1˚ pra λb = λ pra b
λ
>0
pra λb = |λb| cosφ = |λ| |b| cosφ => pra λb = |λ| |b| cosφ = λ pra b
λ pra b = |λ| |b| cosφ
λ <0
pra λb = |λb| cos(π-φ) = -|λ| |b| cosφ
λ pra b = -|λ| |b| cosφ => pra λb = -|λ| |b| cosφ = λ pra b
2˚ pra (b+c) = pra b+ pra c
6.Скалярний добуток в координатах
В
координатах: нехай
-
базис Е3
,тоді:
Як
бачимо, формула досить громіздка. Якщо
ж взяти за основу прямокутний декартів
базис, то більшість доданків стануть
нульовими, адже за геометричною
властивістю 2˚, скалярний добуток
перпендикулярних векторів дорівнює
нулю. Остаточно отримуємо:
7.Нормування вектора.Напрямні косинуси
Озн.
Нехай
.Орт
– вектором а назив
в-р
1)
2)
=0
Операція
знаходження орт-в-ра назив нормуванням
вектора.
Напрямні косинуси
A(x,y,z)
8. Векторний добуток векторів. Його властивості.
В
екторний
добуток в координатах.
[a , b] = c
1. c ┴ a, c ┴ b (Вектор с є перпендикуляром до площини, утвореної векторами а і b).
2. |c| = | [a , b] | = |a| |b| sin (a ^ b).
3. a, b, c – утворюють «праву трійку» векторів.
Властивості
І Алгебраїчні:
1˚ [a , b] = -[b , a] (антикомутативність).
2˚ [λa , b] = λ[a , b] = [a , λb] (лінійність).
3˚ [a + b, c] = [a , c] + [b , c] (дистрибутивність).
ІІ Геометричні:
1˚ [a , b] = 0 a || b ( sin (a ^ b) = 0 ).
2˚ | [a , b] | = <площі паралелограма, побудованого на векторах а і b>.
9.Векторний добуток в координатах.
В координатах: {i , j, k} – базис Е3
а = (x1, y1, z1);
b = (x2, y2, z2).
a=x1i + y1j + z1k;
b=x2i + y2j + z2k.
x1 y1 z1
[a , b] = x2 y2 z2 =[ x1i + y1j + z1k , x2i + y2j + z2k ] =i (y1z2 – y2z1) + j (x2z1 – x1z2) + k (x1y2 – x2y1).
i j k
10. Мішаний добуток векторів. Його властивості.
Мішаний добуток у координатах.
Def
Мішаним добутком впорядкованої
трійки векторів а1,
а2,
а3
називають число
.
Теор.Мішаний добуток векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда,побудованого на цих векторах ,якщо abc–права трійка,і дор. –(мінус) об’єму паралелепіпеда abc–ліва трійка.
D=[b,c]
abc=(a[b,c])=(a,d)=|a||d|cosA=Sосн
* |a|sin(90-A)=
Sосн*|a|sinA=
Sосн|a|sin(∏/2
- A)= Sосн*h=V
11.Властивості мішаного добутку
І Алгебраїчні
Головна алгебраїчна властивість:
циклічна перестановка векторів не
змінює величини мішаного добутку:
Саме ця властивість і дозволяє записувати мішаний добуток скорочено:
ІІ Геометричні
1˚
вектори
компланарні
2˚ = <об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах> з точністю до знаку:
12. Мішаний добуток в координатах:
=
(x1,
y1,
z1);
=
(x2,
y2,
z2);
=
(x3,
y3,
z3).
=
(виводиться
із формул скалярного та векторного
добутків у координатах)
13. Визначники 2-го та 3-го порядків, їх властивості.
Матриця – прямокутна таблиця чисел.
A=
- квадратна матриця 2х2 A
= {
}
Визначник або детермінант — числова характеристика матриці.
det A - Визначник матриці А
det A = - визначник квадратної матриці 2х2
det A =
=
- визначник матриці 3х3.
Діагональ утворена елементами
– головна;
- побічна.
Визначник квадратної матриці 3х3 можна знайти за правилом трикутника («зірочка»)
=
(
)
=
(
)
det A = D(
)
= (
)