Перечисление специальных методов решения задач дискретного программирования.
Одними из основных методов решения задач дискретного программирования являются метод ветвей и границ и динамическое программирование.
Метод ветвей и границ (англ. branch and bound) — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f(x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).
Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти.
Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений.
В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.
Методы целочисленного программирования. Класс задач целочисленного программирования.
Целочисленное программирование
Целочисленное программирование - разновидность математического программирования, подразумевающая, что искомые значения должны быть целыми числами.
Раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций в пространстве параметров, где все или некоторые переменные являются целыми числами.
Простейший метод решения задачи целочисленного программирования — сведение её к задаче линейного программирования с проверкой результата на целочисленность.
Булевское программирование
К частному случаю задачи целочисленного линейного программирования относятся задачи, где переменные X могут принимать всего лишь два значения — 0 и 1. Соответствующие задачи часто называют задачами булевского программирования. Наиболее известные из этих задач — задача о назначениях (какого работника на какую работу поставить), задача выбора маршрута (задача коммивояжера, задача почтальона), задача о максимальном паросочетании и т. д. Целочисленное программирование применяется при решении задачи оптимизации развития компании, в которой 0 или 1 означают покупку какого-либо оборудования.
Для решения задач этого типа разрабатываются специфические алгоритмы, основанные на комбинаторике, графах и т. д.
К методам целочисленного программирования относят:
метод отсечений;
приближенные методы;
комбинированные методы;
метод ветвей и границ;
МЕТОДЫ ОТСЕЧЕНИЙ
Методы отсечений относятся к численным методам решения дискретных задач оптимизации (методам дискретного программирования). Они предназначены для решения целочисленных задач линейного программирования (ЛП). Идея методов отсечения состоит в следующем. Первоначально решается обычная ("непрерывная") задача ЛП, полученная из исходной задачи отбрасыванием требования целочисленности. Если полученное решение является целочисленным, то оно будет также решением исходной задачи. Если нет, то к ограничениям исходной задачи добавляется новое линейное ограничение, обладающее двумя свойствами:
полученное нецелочисленное решение ему не удовлетворяет;
все целочисленные точки допустимого множества исходной задачи ему удовлетворяют.
Такое ограничение называется правильным отсечением. Затем решается расширенная непрерывная задача ЛП, т.е. непрерывная задача с добавленным ограничением. Если полученное решение не является целочисленным, добавляется новое правильное отсечение и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока решение очередной расширенной непрерывной задачи ЛП не окажется целочисленным. Таким образом, решение целочисленной задачи ЛП сводится к решению некоторой последовательности обычных задач ЛП. Геометрически добавление каждого такого линейного ограничения означает проведение гиперплоскости, отсекающей от многогранника допустимых решений очередной непрерывной задачи ЛП оптимальную точку с нецелочисленными координатами, но не затрагивающей ни одной из целочисленных точек этого многогранника. Поэтому методы, опирающиеся на эту идею, получили название методов отсечений.
МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ
Метод ветвей и границ относится к группе комбинаторных методов дискретного программирования и является одним из наиболее распространенных методов этой группы. Центральную идею комбинаторных методов составляет замена полного перебора допустимого множества X частичным перебором. В случае метода ветвей и границ это осуществляется путем последовательного разбиения допустимого множества на подмножества (ветвления) и вычисления оценок (границ), позволяющих отбрасывать подмножества, заведомо не содержащие решения задачи. При реализации общей схемы метода ветвей и границ для различных задач дискретного программирования необходимо, исходя из специфики этих задач, конкретизировать правила ветвления и вычисления границ.
Метод отсечения (метод Гомери, метод отсекающих плоскостей) и метод ветвей и границ.
Общая задача линейного дискретного целочисленного программирования имеет вид:
(4.1)
(4.2)
xj ≥ 0 , j = 1,..,n (4.3)
xj– целые, j = 1,..,n (4.4)
Задача (4.1) – (4.4) называется полностью целочисленной задачей линейного программирования, т.к. на все переменные положено условие целочисленности (ограничение 4.4). Когда это условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично целочисленной.
Пусть дана задача полностью целочисленного линейного программирования (4.1) – (4.4). Алгоритм метода отсечений состоит из следующих этапов:
1) решается ЗЛП (4.1) – (4.3) с отброшенными условием целочисленности (4.4); если она не разрешима, то задача (4.1) –(4.4) тоже решения не имеет;
2) если условие целочисленности выполняется по всем переменным, то найденное решение есть решение задачи (4.1) –(4.4);
3) иначе строится дополнительное отсекающее ограничение, включается в систему ограничений (4.2) – (4.3) и на этап 1.
Для решения полностью целочисленной задачи ЛП Гомори предложено делать каждый раз на этапе 3 дополнительное ограничение для нецелой переменной с наибольшей дробной частью.
Предположим, что задача с отброшенным условием целочисленности решена. Рассмотрим i-ю строку оптимальной симплексной таблицы, которой соответствует нецелое решение β i базисной переменной xi Пусть R – множество индексов j, которые соответствуют небазисным переменным. Тогда переменная xi может быть выражена через небазисные переменные xj:
β
i – нецелое. (4.5)
Обозначим наибольшую целую часть числа a, его не превосходящую, через [a], ( a≥[a]), а дробную положительную часть – через {a} Очевидно a = [a] + {a}. Например, если a=4,7 то [a] = 4, {a} = 0,7, если a =-8,6, то [a] = -9, {a} = 0,4.
Выразим базисную переменную xi в (4.5) в виде суммы целой и дробной частей.
.(4.6)
Выражение
в левых круглых скобках (4.6) целое число,
и чтобы xj было целым, необходимо, чтобы
выражение в правых круглых скобках
(4.6) тоже было целым. Когда выражение
будет целым? Так как 0 ≤ {βi}≤1, а
то Li будет целым числом, если
т.е.
(4.7)
Соотношение (4.7) определяет правильное отсечение Гомори.
Задача (4.1) – (4.4) не будет иметь полностью целочисленного решения, если встретится в симплекс-таблице уравнение такое, что βi дробное число, а αij –целые.