Типовой расчёт № 4 Интегрирование.
Образец решения
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1.
.
Решение.
.
2.2.
.
Решение.
.
2.3.
Решение.
.
Задание 3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
а)
|
б)
|
Решение:
а)
- интеграл расходится.
б)
является точкой разрыва подынтегральной
функции, поэтому:
- интеграл сходится.
Задание 4. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями:
и
;
.
Р
ешение.
Найдем координаты точек пересечения
линий:
;
;
.
;
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного
при вращении вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями:
,
вокруг оси
.
Решение. Используем формулу для нахождения
объёма тел вращения:
.
В условиях нашей задачи
,
,
.
.
Задание
6. Вычислить: длину дуги кривой:
,
В
зависимости от способа задания уравнения
кривой существуют следующие формулы
нахождения длины дуги кривой.
Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением
длина дуги находится по формуле
(1);
Д
ля
кривой, заданной параметрически
уравнениями
длина дуги находится по формуле
(2);
Д
ля
кривой, заданной в полярных координатах
уравнением
длина дуги находится по формуле
(3).
В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (2).
;
Вариант № 1.
Задание 2. Вычислить:2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.ü
Задание 3. Вычислить несобственный
интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного
при вращении вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 6. Вычислить
длину дуги кривой:
от точки с абсциссой
до точки с
абсциссой
.
Вариант № 2.
Задание 2. Вычислить:2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание 3. Вычислить несобственный
интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного
при вращении вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой
в пределах от
до
.
Вариант № 3.
Задание 2. Вычислить 2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание 3. Вычислить несобственный
интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного
при вращении вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой
между точками пересечения её с
.
Вариант № 4.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание 3. Вычислить несобственный
интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного
при вращении вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями:
.
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой
от
до
.