1. Различные формы постановок задач линейного программирования (злп). Переход от общей формы к стандартной и канонической. Эквивалентность перехода от стандартной формы к канонической и наоборот

Задача линейного программировании(ЗЛП). Общая постановка: максимизировать(минимизировать) функцию

При условиях

Или в векторно-матричной форме:

ЗЛП в стандартной форме: максимизировать(минимизировать) функцию

При условиях

Или в векторно-матричной форме:

ЗЛП в канонической форме имеет вид: максимизировать (минимизировать) функцию

При условиях Или в векторно-матричной форме:

Каноническая форма ЗЛП эквивалентна стандартной форме ЗЛП.

От ЗЛП в стандартной форме к ЗЛП в канонической форме переходим, вводя новые переменные (1) следующим образом:

(2) Получили ЗЛП в канонической форме.

Если вектор максимизирует целевую функцию при условии, что его координаты удовлетворяют ограничениям ЗЛП в стандартной форме, то вектор максимизирует целевую функции при условии, что координаты и удовлетворяют ограничениям (1) и (2). Верно и обратное.

Переход от ЗЛП в канонической форме к ЗЛП в стандартной форме осуществляется путем замены каждого уравнения на эквивалентную ему систему неравенств Преобразования ЗЛП минимизации аналогичны.

2. Свойства множества допустимых решений злп. Внутренние и граничные точки. Выпуклость множества оптимальных решений злп. (выпуклость)

Допустимое решение

ДР– вектор , координаты которого удовлетворяют ограничению ЗЛП в любой форме

Допустимое решение является оптимальным если

Свойства злп:

1. Множество решений ЗЛП выпукло

2. Множество оптимальных решений ЗЛП выпукло

3. ЗЛП лок. И глоб. Оптимумы совпадают

4. Любая точка допустимого множества решений является выпуклой комбинацией решений

5. Если ЗЛП имеет допустимое решение, то она имеет допустимое базисное решение.

Допустимая точка – внутренняя, если для нее все неравенства Ax≤b выполняются как строгие. Всякая внутренняя точка множества принадлежит ему со своей е-окрестостью.

Граничная точка-точка, в любое е-окрестности которой содержатся как точки принадлежащие множеству, так и не принадлежащие.

Теорема о выпуклом множестве:

Мн-во всех допустимых решений системы ограничений задачи ЛП выпуклое.

Множество X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками , принадлежащими этому множеству, ему принадлежит и их выпуклая комбинация.

Так как выпуклая комбинация двух точек геометрически определяет отрезок в пространстве , соединяющий эти точки, то имеет место и такое определение: множество X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками , принадлежащими этому множеству, ему принадлежит и отрезок их соединяющий.

Примеры выпуклых множеств: круг является выпуклым множеством, выпуклый многоугольник. По определению выпуклым множеством считают множество, состоящее из одной точки, а также пустое множество.