
- •2.Метод деления отрезка пополам решения алгебраических уравнений.
- •3.Метод простой итерации решения алгебраических уравнений.
- •4.Метод наименьших квадратов аппроксимации функций.
- •5.Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
- •11. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта.
- •10.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Коши Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения.
- •7.Квадратурные формулы вычисления определенных интегралов. Формула трапе-ций..
- •9.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •15. Численное решение уравнения Пуассона
- •13. Сеток метод
- •14. Численное решение уравнения теплопроводности
15. Численное решение уравнения Пуассона
ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ
численные методы
решения - методы, заменяющие исходную
краевую задачу для уравнения Пуассона
∆u
(x)
≡
(1)
системой
из Nлинейных
алгебраич.
решение
к-рой
≡(
,
позволяет
построить нек-рую аппроксимацию Pn
Un
для решения исходной задачи,N→∞.
В зависимости от способа сравнения решений исходной задачи (1) и дискретной задачи (2) определяются такие важнейшие понятия, как погрешность численного метода и оценка погрешности (точности). Другими характеристиками численных методов служат алгебраич. свойства систем (2) (дискретных аналогов краевых задач), связанные с устойчивостью их решений (корректностью дискретных задач) и возможностью отыскания точных или приближенных решений (2) теми или иными прямыми или итерационными методами при выполнении соответствующей вычислительной работы и соответствующих требованиях на объем используемой памяти ЭВМ (см. Минимизация вычислительной работы).
Важность численного решения краевых задач для П. у. определяется не только тем, что эти задачи часто возникают в разнообразных областях науки и техники, но и тем, что они нередко служат и средством решения более общих краевых задач как для уравнений и систем уравнений эллиптич. типа, так и различных нестационарных систем. Основными численными методами для решения рассматриваемых краевых задач являются проекционные методы и разностные методы.
12. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
Этот метод позволяет получить решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.
Пусть
в условиях теоремы существования
требуется найти решение уравнения (1)
с начальным условием (2). Проинтегрируем
обе части
уравнения
(1) от x0 до х :
,
Очевидно, решение интегрального уравнения (5) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2).
Действительно, при x=x0получим: . вместе с тем интегральное уравнение (5) позволяет применить метод последовательных приближений. Положим y=y0 и получим из (5) первое
приближение: . Интеграл в правой части содержит только переменную х; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения y1(x) как функции переменной х. Заменим теперь в уравнении (5)у найденным значением y1(x) и получим второе
приближение: и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид:
(6).
Циклическое применение формулы (6) дает последовательность функций
(7).
Так как функция f непрерывна в области G, то она ограниченна в некоторой области G ??? G, содержащей точку (x0,y0), то есть
(8).
Применяя к уравнению (6) в условиях теоремы существования принцип сжимающих отображений, нетрудно показать, что последовательность (7) сходится. Ее предел является решением интегрального уравнения (1) с начальными условиями (2). Это озночает, что k-ый член последовательности (7) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной степенью точности.
Оценка погрешности k-го приближения дается формулой:
,
(9)
Где
М - константа Липшица (4), N - верхняя грань
модуля функции f из неравенства (8), а
величина d для определения
окрестности
вычисляется
по формуле
(10)