9.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, имеет вид y’=f(x,y). Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция  , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: .

График y= решения  называется интегральной кривой. Задача Коши для дифференциального уравнения состоит в том, чтобы найти решение уравнения удовлетворяющее начальному условию y(x=x(0))=y(0)  Пару чисел ( )  называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (8.1) при условии (8.2).Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку ( ).

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме. Теорема 8.1. Пусть функция f(x,y) − правая часть дифференциального уравнения (8.1) – непрерывна вместе со своей частной производной df(x,y)/dy в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных ( )  задача Коши (8.1), (8.2) имеет единственное решение y= .При выполнении условий теоремы через точку ( )на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются.Численное решение задачи Коши (8.1), (8.2) состоит в том, чтобы получить искомое решение   в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента _x на некотором отрезке [a,b] : Точки (8.3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [a,b]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h: h=b-a/m; или     

Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках   обозначим через  .Такимбразом,                   .

Для любого численного метода решения задачи (8.1), (8.2) начальное условие (8.2) выполняется точно, т. е. y(x=x(0))=y(0) 

Говорят, что численный метод имеет p-й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h d=Ch(p), p>0,

Гд C – некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (8.1) и от рассматриваемого метода. В данном случае очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.  Далее рассмотрим несколько численных методов решения задачи Коши (8.1), (8.2).

Метод Эйлера (Метод называют также методом ломаных, так как участки кривой функции заменяются отрезками прямых) является простейшим приближенным способом решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим его геометрическую интерпретацию на примере одного уравнения Пусть требуется проинтегрировать уравнение на интервале [a,b], т.е. найти профиль изменения функции y для заданного диапазона значений аргумента x (см. рис.).

Разделим интервал [a,b] на равные малые отрезки D x, называемые шагом интегрирования. На рисунке пунктиром обозначена неизвестная функция y, которую требуется найти. Мысленно проведем в точке касательную к функции. Приближенным значением функции y в точке с координатой a+D x, т.е. на конце первого отрезка будем считать точку пересечения касательной и перпендикуляра, восстановленного в этой точке. Тогда y(a+D x)=y(a)+D xЧ tga .

Угол a – это угол наклона касательной, проведенной в точке a. Из геометрического смысла первой производной следует, что тангенс угла наклона касательной, проведенной в некоторой точке, численно равен первой производной, вычисленной в этой точке, т.е. tga= .

Формула для приближенного значения функции на конце отрезка принимает вид y(a+

Вычислив значение функции после первого шага интегрирования, применим выведенную формулу для второго шага и т.д. Для произвольного шага i формула Эйлера принимает вид .

Таким образом, приближенное значение функции на конце текущего отрезка интегрирования равно сумме значения функции в начале отрезка и произведения шага интегрирования на величину производной, вычисленной в начале отрезка. Для первого шага должно быть известно значение функции в начале всего интервала интегрирования (в точке a), это значение называют начальным условием.

Для решения системы из p дифференциальных уравнений формулу Эйлера на каждом шаге интегрирования применяют для каждого из p уравнений.

Метод Эйлера достаточно прост для реализации, поэтому его часто программируют непосредственно в прикладной программе.