10.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Коши Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассматривается задача Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной

(4.1)

Требуется найти решение на отрезке где .

Введем разностную сетку на отрезке ,

Точки - называются узлами разностной сетки, расстояния между узлами – шагом разностной сетки (h) , а совокупность значений какой либо величины заданных в узлах сетки называется сеточной функцией

Приближенное решение задачи Коши (4.1) будем искать численно в виде сеточной функции . Для оценки погрешности приближенного численного решения будем рассматривать это решение как элемент N+1- мерного линейного векторного пространства с какой либо нормой. В качестве погрешности решения принимается норма элемента этого пространства - точное решение задачи (1) в узлах расчетной сетки. Таким образом

7.Квадратурные формулы вычисления определенных интегралов. Формула трапе-ций..

Квадратурные формулы. Поставим определенному интегралу в соответствие квадратурную формулу: здесь   -- узлы отрезка [0,1] и   -- весовые коэффициенты. Общая задача состоит в том, что узлы и коэффициенты неизвестны и их надо найти из дополнительных условий. Рассмотрим задачу определения коэффициентов   при фиксированных узлах   и дополнительном условии: формула приближенного вычисления определенного интеграла должна быть верна для любого многочлена степени от 0 до m , т.е. , где   и узлы   фиксированы. Для того, чтобы многочлен (полином) степени r удовлетворял равенству, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была верна для любого одночлена   степени l=0,1,2,…,r .Найдем определенный интеграл от одночлена   на отрезке [0,1] : Далее подставляя по-очереди одночлены   , получаем систему линейных алгебраических уравнений: Эта система имеет единственное решение (если нет совпадающих узловx  v ). Решением системы являются коэффициенты   . Задавая произвольное m и решая систему, можно получить квадратурную формулу. Замечание. Здесь рассматривался отрезок [0,1] , но, повторяя аналогичные рассуждения, можно получить формулу для произвольного отрезка интегрирования.  Формула трапеций Разобъем отрезок [a,b ] на n частей точками Возьмем из каждого полуинтервала по одной точке   и составим следующую сумму: S= , где   -- длина полуинтервала.Рассмотрим случай равномерного разбиения отрезка [a,b] , т.е. отрезок разбивается на nравных полуинтервалов длины    Заменим площадь криволинейной трапеции   площадью трапеции с основаниями  ,    и высотой  . Получаем, что В этом случае получаем формулу трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов: