4.Метод наименьших квадратов аппроксимации функций.

Аппроксимация- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда.

5.Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

Интерполяцио́нныймногочле́нЛагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел  , где все x_j различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_j) = y_j.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

double[] xlag = {20.138, 50.761, 500.734, 1000.069, 15000.755, 19000.106};// этоsd[,0]

                double[] ylag = {60.375, 80.394, 60.389, 50.391, 70.391, 75.399};// этоsd[,1]

                /* Функция, вычисляющая коэффициенты Лагранжа

                x - аргумент функции

                n - степень многочлена (или число x-ов)

                i – номер узла

                */

                int n = ylag.Length; //    

                double Rv = 0;  // начальное значение                  

                doubleprovxv = 1500; // произвольная точка для проверки

 

                for (int i = 0; i != n; i++)

                    {

                        doubleLv = Li(xlag, n, provxv, i, ref txtb);    

                        Rv += Lv * ylag[i];

                    }

 private static double Li(double[] xlag, int n, double provx, int i, ref string txtb)

        {

            double L;

            doubleChesl; double Znam; Chesl = 1; Znam = 1;  

            // вычисление числителя

            for (int k = 0; k != n; k++)

            {

                if (k == i) continue;

                // убираеммножитель x - x(i)

                Chesl *= provx - xlag[k];

            }

            // вычисление знаменателя

            for (int k = 0; k != n; k++)

            {

                if (xlag[i] == xlag[k]) continue;

                // убираем, а то ноль в знаменателе

                Znam *= xlag[i] - xlag[k];

            }

            L = Chesl / Znam;

            return L;

        }

11. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта.

Семейство явных методов Рунге-Кутты р-го порядка записывается в виде совокупности формул:

(1)

Параметры подбираются так, чтобы значение , рассчитанное по соотношению (1) совпадало со значением разложения в точке точного решения в ряд Тейлора с погрешностью O(

6. Многочлен Ньютона интерполяционный. – как и другие интерполяционные формулы, служит для построения многочлена n-й степени, который совпадает в (n+1) точке co значениями неизвестной искомой функции у =f(x).

Пусть  в  точках  х₀, х₁, …, х_n+1  значения  функции  у = f(x)  равны  соответственноу₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …, y_n+1 = f(x_n+1).

Построим  интерполяционный многочлен Ньютона с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого запишем искомый многочлен в виде P_n(x) = b₀ + b₁(x – x₀) + b₂(x – x₀)(x – x₁) + b₃(x – x₀)(x – x₁)(x – x₂) + … + b_n(x – x₀)…(x – x_n). (1)

Последовательно подставляя в формулу (1) вместо х данные значения х₀, х₁, ...,х_n+1, получим для нахождения неопределенных коэффициентов b₀, b₁, ..., b_n«треугольную» систему уравнений (при подстановке в равенство (1) вместо х числа х₀ в правой части равенства обратились в нуль все слагаемые, кроме первого: там везде был множитель (х – х₀), обратившийся  в нуль; при подстановке х = х₁ обратились в нуль все слагаемые, кроме первого и второго – они содержат множитель (х – х₁) и т.д.).

Полученную систему удобно решать: из первого её уравнения находим свободный член искомого многочлена b₀; подставив его во второе уравнение, находим коэффициент  b₁ при первой степени х в искомом многочлене: и т.д.  Для интерполяционного многочлена Ньютона можно выписать явные выражения коэффициентов через данные задачи, а также и оценки точности замены неизвестной функции f(x) этим многочленом.