Тема 4. Непараметрические критерии

Рассмотренные ранее методы сравнения параметров распределений предполагали, что мы заранее обладаем фундаментальной информацией – нам известен закон распределения вероятностей. Достаточно часто на практике это требование игнорируется исследователями – применяются методы независимо от вида распределения. Однако отклонение распределения изучаемой случайной величины от того, которое требуется для применения того или иного метода, приводит к искажению результатов (вплоть до принятия решения, противоположного правдоподобному).

Поэтому в тех случаях, когда наши предположения о гипотетическом законе распределения не кажутся убедительными, следует применять иные методы для сравнения случайных величин и проверки гипотез об их значениях.

Методы статистической обработки и анализа результатов наблюдений, закон распределения вероятностей которых неизвестен, объединены единым направлением математической статистики, получившим название непараметрическая статистика. Ее приемы и методы, известные еще как методы, свободные от распределения, интенсивно развиваются в последние годы.

Непараметрические критерии строятся, как правило, не на основе числовых характеристик выборки, а на основе самих вариант выборок.

В случае двух выборок гипотезы выдвигаются в следующем виде: , где - значение функции распределения случайной величины в точке , - значение функции распределения случайной величины в точке .

Если в результате проверки гипотеза не отвергается, то функции распределения случайных величин и одинаковы. Следовательно, одинаковы и сами случайные величины. Следовательно, обе выборки извлечены из одной генеральной совокупности.

Достоинством данной группы критериев является простота использования. Но следует помнить, что непараметрические критерии обладают меньшей мощностью, поэтому для более точного исследования необходимы выборки большого объема. Легко догадаться, что малая мощность – плата за незнание закона распределения.

Рекомендуется следующий порядок в применении критериев:

• если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, то непараметрические критерии являются единственно возможным способом проверки различных статистических гипотез;

• если распределение изучаемой величины известно (и доказано при помощи критериев согласия), то рекомендуется сначала применить простые в вычислительном отношении непараметрические критерии. При отклонении нулевой гипотезы дальнейшие уточнения не требуются. Если непараметрический критерий не отклоняет нулевую гипотезу, то следует применить какой-либо параметрический критерий

Различают непараметрические критерии для зависимых и независимых выборок.

§1. Непараметрические критерии для зависимых выборок.

1. G - критерий знаков.

Предназначен для установления общего направления сдвига изучаемого признака (сдвигом называют разность между вторым и первым измерениями). Критерий знаков позволяет установить, в какую сторону в выборке в целом произошли изменения (произошло увеличение значений, уменьшение или значения не изменились).

Критерий знаков может быть применим не только к количественным признакам, но и к качественным, имеющим не менее трех градаций.

Критерий является левосторонним.

2. Т - критерий Вилкоксона.

Этот критерий также используется для связанных (зависимых) выборок, но он может применяться только для изучения количественного признака, так как учитывает не только направление сдвига, но и его выраженность. Критерий Вилкоксона является более мощным, чем критерий знаков.

Критерий Вилкоксона основан на ранжировании абсолютных значений сдвига (то есть, значений сдвига, взятых по модулю). Поэтому сдвиги должны варьироваться в достаточно широком диапазоне, иначе Т – критерий не будет отличаться от критерия знаков.

Критерий является левосторонним.

3. χ² - критерий Фридмана.

Применяется для сопоставления показателей, измеренных в трех или более условиях на одной и той же выборке испытуемых. Критерий позволяет установить, что значения измеряемого признака изменяются от выборки к выборке, но не указывает направление изменений. При обработке данных ранжируются не сдвиги, а сами значения, полученные испытуемыми в первом, втором, третьем, … измерениях.