14. Ортогональное дополнение подпространства.
Определение. Пусть V n- мерное евклидово или унитарное пространство. U - его подпространство. Множество U всех векторов пространства V , ортогональных каждому вектору из U, ортогональным дополнением подпространства U.
Пример. V = { } ; { }= V .
Теорема Пусть V – евклидово (унитарное ) пространство, U – подпространство V. Тогда U является подпространством V.
Доказательство.
Очевидно U V. т.к. = 0 V, то U
а) Пусть , U . тогда U = 0, = 0 ( + ) = + = 0+0 = 0 + U
б) Пусть U , R ( C) U ( ) = ( ) = 0 = 0 U
Т.о. U – подпространство V.
Теорема. Пусть V n- мерное евклидово ( унитарное) пространство; U -подпространство V, при чем U { }, U V.
Тогда V = U U .
Доказательство.
Пусть
- ортогональный базис U;
дополним его до ортогонального базиса
V.
.
Тогда
V
=
=
+
(
U,
L(
),
причем такое представление единственно.
Т.о. V
= U
+ L(
).
Покажем, что L(
)
= U
Пусть
L(
)
=
(
)
U
:
=
+…+
и
= (
)
(
+…+
)
=
=
0
U
и L(
)
U
Пусть
U
V
=
=
0
.
Тогда
(
)
= 0,
= 0,
.
Т.о. = L( ) и U L( ) .
Следовательно, U = L( ) и V = U U .
Следствие . dimp U = dimp V - dimp U.
Замечание. Согласно теореме V однозначно представим в виде = + , где U , U
Определение. Пусть = + U + U . вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство U