10. Изменение матрицы скалярного произведения при замене базиса

Пусть S – матрица скалярного произведения в базисе ; Т – матрица перехода от базиса (1) к базису (2) векторного n- мерного пространства V; ,  V

Тогда [ ]₍₁₎ = Т [ ]_{(2) ,} [ ] ₍₁₎ = Т [ ] ₍₂₎ и  = ^t[ ] ₍₁₎ S[ ]₍₁₎ = ^t(Т [ ] ₍₂₎ ) S (Т [ ]₍₂₎ ) = ^t[ ] ₍₂₎ (^t T S T) [ ]₍₂₎

Следовательно, ^t T S T – матрица скалярного произведения в базисе .

Т.о при замене базиса матрицы скалярного произведения изменяется так, как матрица квадратичной формы при линейном невырожденном преобразовании переменных.

11. Матрица эрмитова произведения

Пусть А – произвольная комплексная матрица. Через ^*А обозначают матрицу, полученную из А, путем транспонирования и заменой каждого ее элемента комплексно сопряженным числом.

Если А – действительная матрица, то, очевидно, ^tА = ^*А.

Кроме того, ясно, что ^*(^*А) и ^*(АВ) = ^*В ^*А.

Определение . Если ^*А = А, то комплексная матрица А называется эрмитовой.

Пусть векторы ( ) и ( ) из комплексного n- мерного векторного пространства; ) … - базис V.

Тогда  = = *[ ]  S  [ ], где S – матрица эрмитова произведения , причем S – эрмитова матрица, т.к.  = .

Если Т – матрица перехода от базиса ) … унитарного пространства к базису . Тогда в базисе эрмитово произведение задается матрицей *T S T.

12. Связь между ортонормированными базисами

Теорема. Пусть ) … - ортонормированный базис евклидова (унитарного) пространства V. - базис V ; Т – матрица перехода от базиса ) … к базису . Базис ортонормирован  матрица Т удовлетворяет условию

^t Т  Т = Е (в случае евклидова пространства)

и ^* Т  Т = Е (в случае унитарного пространства).

Доказательство. Необходимость.

Пусть базис ортонормирован. Тогда = 0  , = 1 i. Значит, матрица скалярного произведения – единичная. По условию, базис … ортонормирован, значит, и его матрица единичная.

Тогда Е = ^t ТЕТ = ^t ТТ (Е = ^* ТЕТ = ^* ТТ )

Достаточность. Пусть матрица Т удовлетворяет условию ^t ТТ = Е (*ТТ = Е). Т.к. базис ) … ортонормирован, то матрица скалярного произведения в нем единичная. Тогда А = ^t ТЕТ = ^t ТТ = Е – матрица скалярного произведения в базисе . Значит, = 0  , = 1 i. =  базис ортонормирован.

13. Ортогональные матрицы. Унитарные матрицы.

Определение . Действительная матрица А n-ого порядка называется ортогональной, если ^tАА = Е ( или А^-1 = ^tА)

Теорема Множество всех ортогональных матриц n-ого порядка является группой относительно умножения матриц

Доказательство. 1. Т.к. ^tЕЕ = Е, то множество всех ортогональных матриц не пустое.

2. Пусть А и В ортогональные матрицы. Рассмотрим их произведение:

^t(А  В) = ^tВ  ^tА = В^-1 А^-1 = (АВ) ^-1 АВ ортогональна

3. Е – единичный элемент.

4. для любой ортогональной матрицы С:

^t (С)^-1  С^-1 = (^tС)^-1  С^-1 = (C^tС)^-1 = (C  С^-1)^-1 = Е^-1= Е   С^-1 – ортогональная матрица: С С^-1= Е

Из 1- 4  множество всех ортогональных матриц является группой.

Теорема. Матрица А = ( ) ортогональна  = , j, k = , где =

Доказательство. Необходимость

Пусть матрица А = ( ) ортогональна 

 =

= 1

= 0

Достаточность. Очевидно.

Определение. Комплексная матрица C n- ого порядка, удовлетворяющая условию ^*С  С = Е называется унитарной.

Теорема. Множество всех унитарных матриц n- ого порядка является группой относительно умножения матриц.

Теорема. Комплексная матрица С = ( ) унитарна  =

Теорема Вещественная квадратичная матрица

А = является ортогональной  соответствующая ей система векторов ,…, ортонормированна.

Доказательство. Необходимость

Пусть матрица А ортогональна , т.е. ^tАА = Е.  ^tАА= С = ( ). По условию С = Е, т.е. = .

С другой стороны = = , где А = ( ),^tА =( ), т.к. .

Следовательно =

Значит, = 0, i  j, = 1, система векторов … - ортонормирована.

Достаточность. Пусть система векторов … ортонормированна. Так, что А – ортогональна. А = ( ),^tА =( ), т.е. .

Найдем С = ^tАА = ( ). Согласно правилу умножения матриц получим: = = = .

Если i  j, то = 0  = 0 i  j, при i = j = 1  = 1, i = j  С = ^tАА = Е  А ортогональна.