7. Ортонормированный базис евклидова (унитарного) пространства

Определение 12. Пусть V – евклидово (унитарное ) пространство. Вектор  V называется единичным или нормированным, если его длина равна 1.

Определение 13. Система векторов евклидова унитарного пространства V называется ортонормированной, если она ортогональна и все ее векторы нормированы.

Определение 14. Базис евклидова (унитарного) пространства V называется ортонормированным базисом , если он является ортонормированной системой векторов.

Теорема 8. Конечномерное ненулевое евклидово (унитарное ) пространство обладает ортонормированным базисом.

Доказательство.

V – n- мерное евклидово (унитарное ) пространство, n  0.

По следствию 7.1, V обладает ортогональным базисом.

Пусть (1) - ортогональный базис V. Нормируем его. Рассмотрим систему векторов (2) … , где = .

Покажем, что система (2) является ортонормированным базисом V.

1. Т.к. = =  = . = = 1  = 1, i = , т.е. система (2) нормирована.

2.  i, j = , i  j :  =  = = 0    i, j = , i  j  система (2) ортогональна.

3. По теореме 2, система (2) линейно независима.

Т.к. dim_p V = n , то система (2) является базисом V.

Из 1) – 3) следует, что (2) ортонормированный базис V.

Следствие 8.1. Любую ортонормированную систему векторов конечномерного ненулевого евклидова (унитарного) пространства можно дополнить до ортонормированного базиса.

Теорема 9. V – n- мерное евклидово пространство, … - ортонормированный базис V. Тогда скалярное умножение относительно этого базиса является стандартным, т.е если ,  V, = , = , причем =

Доказательство. Пусть ,  V, = , =   =  = ( + )  ( ) = + + + +…+ =  = =  =

Теорема 10. пусть V – n- мерное унитарное пространство, … - ортонормированный базис V. Тогда скалярное умножение относительно этого базиса имеет вид: ,  V, = , =

 = - стандартное эрмитово умножение.

8. Определитель Грама

Пусть - произвольная система векторов евклидова или унитарного пространства. Рассмотрим определитель

=  ( )

Определение Определитель  ( ) называется определителем Грамма системы векторов .

Теорема Если система получена из системы векторов процессом ортогонализации, то Г( ) =  ( )

Следствие.  ( ) – вещественное неотрицательное число, равное нулю  система векторов линейно зависима.

9. Матрица скалярного произведения

Пусть V n- мерное вещественное пространство. Оно может быть превращено в евклидово. Будем считать, что V n- мерное евклидово пространство.

Пусть - базис V,  ,  V . Тогда = , = ,  =  = (1)

Определение 15. матрица S = называется матрицей скалярного произведения в базисе .

Замечание . из формулы (1) следует, что скалярное произведение при фиксированном базисе вполне определяется матрицей S.

Доказательство. V n- мерное евклидово пространство, - базис V, ,  V. Тогда = ; =

 = (1)

Пусть S = ; [ ] = , [ ] = . Тогда (1)   = ^t[ ]S[ ]

Матрица S симметрическая , т.к. . все угловые миноры матрицы S положительны, т.к. они являются определителями Грамма линейно – независимых систем векторов. Т.о. каждому скалярному произведению соответствует действительная симметрическая матрица, все угловые миноры которой положительны.

Пусть теперь Т= ( _ij)- действительная симметрическая матрица n-ого порядка, все угловые миноры которой положительны; V n- мерное действительное векторное пространство, базис V. покажем, что можно так задать в V скалярное умножение, что Т будет являться матрицей скалярного произведения в базисе .

Пусть ,  V. Зададим умножение и следующим образом:

 = ^t[ ]Т[ ] (1).

Покажем, что оно задает скалярное произведение.

а)  = ^t[ ]Т[ ] = ^t[ ]Т ^t [^t ] = ^t (^t[ ] ^tТ[ ]) = ^t (^t[ ] Т[ ]),

^t[ ]Т[ ] – матрица 1- ого порядка, который не изменяется при транспонировании. Значит, ^t[ ]Т[ ] = ^t (^t[ ] Т[ ])   = 

б) пусть  V. Тогда ( + ) = ^t[ ]Т[ + ] = ^t[ ]Т([ ]+[ ] ) = ^t[ ]Т[ ] + ^t[ ]Т[ ]=  + 

в) Пусть  R  ( ) = ^t[ ]Т[ ] = ( ^t[ ]Т[ ]) =  ( )

г) Пусть   = ^t[ ]Т[ ]  0 , т.к. все миноры матрицы Т положительны, причем =  =

т.о. (1) – скалярное произведение.