5. Ортогональная система векторов и ее линейная независимость.

Определение 9. Пусть V – евклидово или унитарное пространство. Векторы ,  V называются ортогональным, если  = 0.

Обозначение: 

Замечание: Из свойств скалярного (эрмитова) произведения следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору векторного пространства.

Определение 10. Пусть V – евклидово или унитарное пространство. Система векторов из V называется ортогональной, если любые 2 ее различных вектора ортогональны.

Теорема 5. Пусть V – n – мерное евклидово пространство, или унитарное пространство. Тогда любая система ненулевых ортогональных векторов из V линейно – независима.

Доказательство.

Пусть (1) – ортогональная система ненулевых векторов из V. Покажем, что (1) линейно независима.

Рассмотрим линейную комбинацию (2).

Домножим обе части неравенства (2) на вектор , : .

По свойству билинейности получим:

По условию, система (1) ортогональна. Тогда . Т.к. , значит =0 .

Т.о., система (1) линейно – независима. ч.т.д.

Следствие 5.1 Если V – ненулевое n – мерное евклидово пространство, или унитарное пространство, то любая ортогональная система n ненулевых векторов из V является ортогональным базисом V.

Теорема 6. (Пифагора)

Пусть V – евклидово ( унитарное) пространство,  ,  V. Если  ,

| + |² = | |² + | |².

Доказательство.

Т.к. | |² = ², то | + |² = ( + )² = ² + 2 + ² = | |² + | |².

6. Ортогональный базис n – мерного векторного пространства. Процесс ортогонализации.

Определение 11. Базис n – мерного евклидова (унитарного) пространства V над полем P называется ортогональным базисом, если он является ортогональной системой векторов.

Теорема 7. Пусть V – n – мерное евклидово или унитарное пространство. Тогда любая ортогональная система ненулевых векторов из V может быть дополнена до ортогонального базиса.

Доказательство. Пусть (1) - ортогональная система не нулевых векторов из V. По теореме 5 , система (1) линейно независима. Значит, систему (1) можно дополнить до базиса V.

Пусть (2) – базис векторного пространства V. Подправим базис (2) так, чтобы из него получился ортогональный базис. Подправим вектор следующим образом:

заменим вектором , таким, что ортогонален векторам :

= (3), причем будем полагать, что выбраны так, что вектор ортогонален всем предыдущим векторам системы (2).

Найдем коэффициенты равенства (3). Для этого домножим обе части равенства (3) на :

 =  = ,

, (4)

Формула (4) позволяет найти вектор который ортогонален всем векторам , т.е. , - ортогональные векторы.

Отметим, что согласно теореме 2, , линейно независима. Значит,  . Т.о. , - ортогональная система ненулевых векторов.

Применим этот процесс – процесс ортогонализации – к вектору , т.е. заменим его вектором , который будет ортогонален векторам , .

Продолжая этот процесс, через конечное число шагов получим , ,…, ортогональный базис V. ч.т.д.

Следствие 7.1 Конечномерное евклидово унитарное пространство обладает ортогональным базисом.

Доказательство.

По определению, ненулевое конечномерное пространство обладает базисом. Пусть - базис V. Считая исходной ортогональной системой, по теореме 3, ее можно дополнить до ортогонального базиса. ч.т.д.