Евклидово и унитарное пространства
1. Векторные пространства над полем ℝ со скалярным умножением
Из аналитической
геометрии известно, что скалярным
произведением векторов
и
на скалярной плоскости (в векторном
пространстве ℝ2
над полем
ℝ)
или в пространстве (в векторном
пространстве ℝ
над полем
ℝ)
называется произведение их модулей на
косинус угла между векторами
и
,
т.е . в этом случае скалярное произведение
– это отображение
: ℝ2
ℝ2
ℝ (или
ℝ3
ℝ3
ℝ)
,
ℝ2 (ℝ3)
((
,
))
=
.
При этом скалярное произведение обладает
рядом следующим свойств:
1)
0
ℝ2
= 0
=
;
2) = , ℝ2 ;
3) (
+
)
=
+
,
,
ℝ2
;
4)
(
)
= (
)
,
ℝ2
,
ℝ;
Эти свойства учитываются и при определении скалярного произведения в произвольном векторном пространстве.
Векторное пространство над полем действительных чисел называется действительным (или вещественным) векторным пространством.
Определение 1. Пусть V – вещественное векторное пространство. Скалярным произведением на V называется отображение : V V ℝ, которое удовлетворяет условиям:
1) = , V ;
2) ( + ) = + , , V ;
3) ( ) = ( ) , V , ℝ;
4) 0 V , причем = 0 = ;
Определение 2. Скалярное умножение на вещественном векторном пространстве называется нулевым, если = 0 , V .
Лемма1. Пусть V – вещественное пространство со скалярным умножением. Тогда = =0 V .
Доказательство. = + ( + ) = + . = + 0. Тогда + = + 0. По закону сокращения получим = 0. ЧТД.
Теорема 1. Пусть V – n-мерное вещественное векторное пространство. Тогда на V существует ненулевое скалярное умножение.
Доказательство. Т.к. V – n-мерное пространство, то в V существует базис, состоящий из n векторов.
Пусть
..,
- базис V. Тогда
,
V
,
.
Зададим отображение
: V
W
ℝ по правилу
,
V
W
((
,
))
=
=
.
Покажем, что является скалярным умножением.
а)
,
V
:
=
=
=
б) Пусть
V.
Тогда (
+
)
=
=
=
+
=
+
.
в)
ℝ
:
(
)
=
=
=
=
(
)
.
г)
=
=
0, причем
=
0
= 0, i =
.
Покажем, что оно не нулевое.
=
1
+
0
+…+
0
= 1
0
Ǝ
хотя бы 1
вектор, для которого скалярное
произведение не нулевое.
Определение 3.
Скалярное умножение на вещественном n
– мерном векторном пространстве
определенное формулой
((
,
))
=
=
называется стандартным
скалярным умножением ,
где
- координаты векторов
и
соответственно
в некотором базисе V.
2. Евклидово пространство
Определение 4. Вещественное пространство V со скалярным умножением называется евклидовым векторным пространством.
Рассмотрим простейшие свойства скалярного произведения.
Свойства. Пусть V – евклидово пространство. Тогда
10. , , V ( + ) = +
Доказательство.
( + ) = ( + ) = + = +
20.
ℝ,
,
V
(λ
)
= λ (
)
Доказательство.
(λ ) = (λ ) = λ( ) = λ ( )
30. V = (0 ) = 0( ) = 0.
Доказательство. Следует из леммы 1.
Замечание 1.1) В силу теоремы 1, всякое конечное вещественное пространство можно превратить в евклидово.
2) Любое подпространство евклидова пространства является евклидовым пространством.