5. Сила тяжести, центробежная сила. Их потенциалы
На
каждую точку М, находящуюся на земной
поверхности действует 2 силы: сила
тяготения
и
центробежная сила
,
вызванная вращением Земли (рис.7).
Рис. 7 Иллюстрация к понятию силы тяжести
-
сила тяготения;
- центробежная сила;
- сила тяжести;
-
радиус круга, по которому вращается
точка М.
Равнодействующую этих сил принято называть силой тяжести.
,
(2.21)
Величина
центробежной силы
определяется из выражения
(2.22)
где
- угловая скорость вращения Земли;
-
радиус малого круга, по которому вращается
точка М.
Потенциал центробежной силы К обозначается буквой Q. Согласно определению, математическое выражение для потенциала центробежной силы имеет вид:
.
(2.23)
В
формулах 2.23 Кx,
Ky,
Kz
- проекции центробежной силы соответственно
на оси
.
Потенциал центробежной силы находится по формуле:
.
(2.24)
Формула (2.24) доказывается. исходя из математического выражения для потенциала центробежной силы. Он равен нулю на полюсе и имеет максимальное значение на экваторе.
Оператор Лапласа для потенциала центробежной силы записывается в виде:
(2.25)
Потенциал силы тяжести обозначается буквой W и равняется сумме потенциалов силы тяготения (V) и центробежной силы (Q).
(2.26)
Запишем выражение для потенциала силы тяжести тела или объемных масс:
.
(2.27)
Потенциал силы тяжести обладает теми же свойствами, что и потенциал силы тяготения. Уравнение Лапласа для внешнего пространства и уравнение Пуассона для внутреннего пространства для потенциала силы тяжести выглядят следующим образом:
– уравнение
Лапласа (2.28)
–
уравнение
Пуассона. (2.29)
6. Вторые производные потенциала силы тяжести. Вариометрические измерения.
Потенциал силы тяжести имеет шесть вторых производных:
.
Если
ось
направлена по направлению силы тяжести,
а оси
и
расположены в плоскости горизонта и
имеют направление, соответственно, на
север и на восток, то физический смысл
вторых производных будет следующим.
Производная
– есть вертикальный
градиент силы тяжести,
который показывает скорость изменения
(уменьшения) силы тяжести с высотой.
Производные
– это горизонтальные
градиенты силы тяжести.
Они характеризуют изменения силы тяжести
в горизонтальной плоскости: первая - в
направлении меридиана, вторая - в
направлении первого вертикала. Знание
горизонтальных градиентов силы тяжести
дает возможность определить полный
горизонтальный градиент,
под которым понимается геометрическая
сумма векторов
и
,
то есть
вектор (обозначим его
),
указывающий направление, в котором сила
тяжести возрастает (или убывает) в
плоскости горизонта быстрее всего.
Величина этого вектора равна
=
=
,
а
угол
с осью
,
то есть азимут плоскости, в котором
лежит полный горизонтальный градиент,
определяется формулой
Кроме
того, они определяют кривизну силовой
линии:
- в касательной к ней плоскости
;
- в касательной к cиловой
линии плоскости
.
Производные
–
характеризуют кривизну нормального
сечения уровенной поверхности.
Вертикальный градиент зависит от плотности. Это означает, что редуцирование (перенос) с одной поверхности на другую во внутреннем пространстве невозможно без знания закона детального распределения плотности и, наоборот, при редуцировании силы тяжести во внешнем пространстве знание плотности для тела, которое создает потенциал силы тяжести, не требуется.
Из
шести вторых производных потенциала
силы тяжести четыре можно измерить с
помощью вариометра. Это
и разность
,
которая обозначает меру отступления
уровенной поверхности в данной точке
от сферы.
Вариометрические измерения
Вторые
производные потенциала силы тяжести
которые
можно измерить, определяют градиенты
силы тяжести в направлениях осей
и
кривизны уровенной поверхности. Оси
расположены
в плоскости, касательной к уровенной
поверхности. Приборы для измерения
вторых производных называют гравитационными
вариометрами и градиентометрами.
Теория вариометра и первый прибор для
измерения вторых производных были
разработаны венгерским физиком Этвешем
в конце XIX
столетия.
В устройствах гравитационных вариометров используют, в основном, коромысла, подвешенные на вертикальной крутильной нити, с разнесенными по горизонтали и вертикали массами. Для исключения влияния движений воздуха и изменений температуры коромысло помещают в теплоизолирующий футляр, который снабжен устройствами для вращения его вокруг вертикальной оси при переходе от азимута к азимуту. Повороты коромысла фиксируются путем фоторегистрации.
Гравитационные вариометры, а затем и градиентометры с устройствами, основанными на использовании коромысла, успешно использовались при решении многих гравиразведочных задач, особенно при поисках и исследовании соляных куполов, рифогенных структур, трассировании разломов и т.д. Сейчас их используют значительно реже, так как эти приборы громоздки, малопроизводительны и требуют высокой квалификации работающих с ними специалистов.
В настоящее время, в основном, развивается так называемая динамическая градиентометрия или метод измерения градиентов силы тяжести на подвижном основании (автомашине, самолете, спутнике). Особенно перспективным здесь представляется развитие аэроградиентометрии и спутниковой градиентометрии.