4. Сила тяготения и ее потенциал. Основные виды и свойства потенциала силы тяготения.

Все мы хорошо знаем, что вселенная - это чрезвычайно сложный организм, населенный множеством различных тел, планет, частиц и т.д., взаимодействующих друг с другом. Взаимодействие обитателей вселенной происходит через физические поля: электромагнитные, силовые, гравитационные, ядерные, температурные, плотностные и т.д.. Гравиметрия изучает поле силы тяжести, поэтому сделаем акцент на силовые поля.

Каждое силовое поле характеризуется силой и потенциалом силы. При этом под потенциалом силы понимают некоторую вспомогательную функцию, частные производные которой по осям координат равны проекциям силы на эти оси.

Обозначив потенциал через R, а силу через G, запишем математическое выражение для потенциала согласно его определению:

(2.1)

Понятие потенциала силы введено для удобства, в чем мы убедимся в дальнейшем.

Графически каждое силовое поле представляется в виде силовых линий и уровенных поверхностей (рис.2).

Силовые линии - это линии, вдоль которых действуют силы. Поверхности, всюду перпендикулярные силовым линиям, называются уровенными поверхностями или поверхностями одинакового потенциала.

Так как геодезия неразрывно связана с гравитационным полем Земли, которое характеризуется силой тяжести и ее потенциалом, слагаемой из силы тяготения (притяжения) и центробежной силы, то приступим к рассмотрению всех этих сил.

Сила тяготения. Понятие силы тяготения вам всем хорошо известно из школьного учебника физики. Вспомним закон всемирного тяготения Исаака Ньютона (1643-1727 гг.), согласно которому все тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению масс взаимодей-

Рис.2 Графическое представление силового поля.

- силовая линия; R -уровенная поверхность.

ствующих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, то есть согласно рис. 3 можно записать:

(2.2)

Рис. 3 Иллюстрация к закону

всемирного тяготения

В (2.2) F - сила тяготения; - притягивающая масса; - притягиваемая масса; r - расстояние между взаимодействующими массами; - гравитационная постоянная. Выражение (2.2) записано в скалярном виде, знак «минус» означает, что сила направлена от притягивающей массы к притягиваемой.

В векторном виде закон всемирного тяготения представлен выражением (2.3).

. (2.3)

Гравитационная постоянная определяется с помощью крутильного

маятника. Ее численное значение равно, соответственно, в системах CGS и СИ:

Гравитационная постоянная не зависит от физических и химических свойств взаимодействующих масс, от направления и скорости их движения (при условии, что эти скорости не приближаются к скорости света), а также от расстояния и свойств среды, расположенной между массами.

Потенциал силы тяготения. Его основные виды.

Потенциал силы тяготения есть некоторая вспомогательная функция V, частные производные которой по осям координат равны проекциям силы тяготения на эти оси. Математическое выражение для потенциала силы тяготения имеет вид:

(2.4)

Наиболее употребляемые на практике простейшие виды потенциала силы тяготения, к которым при математических выкладках сводится большинство случаев, являются:

- потенциал тяготения точечной массы;

- потенциал тяготения объемных масс;

- потенциал тяготения простого слоя.

Потенциал тяготения точечной массы m. Для уяснения этого понятия выполним чертеж (Рис.4). Пусть в точке М с координатами (a, b, c) расположена точечная масса m, а в точке Р с координатами (x, y, z) расположена единичная масса m_i = 1.

Потенциал тяготения точечной массы в этом случае будет равен:

V=f* (2.5)

Докажем формулу (2.5). Доказательство будем вести, исходя из определения потенциала сиды тяготения, согласно которому для выражения (2.5)

Рис. 4 Иллюстрация к потенциалу силы тяготения точечной массы

r – расстояние между массами.

должны быть справедливыми равенства (2.4). С этой целью запишем закон всемирного тяготения для случая, представленного на рис.4, и возьмем частные производные

(2.6)

Согласно рис. 4 расстояние можно выразить через разность координат следующим образом:

(2.7)

Используя правило дифференцирования сложной функции, запишем

; ; (2.8)

Из формулы (2.5):

(2.9)

С учетом (2.7)

; ; (2.10)

Подставляя формулы (2.9) и (2.10) в формулу (2.8) и учитывая (2.6), получим:

=F_x (2.11)

=F_y (2.12)

=F_z (2.13)

Следовательно, выражение (2.5) действительно есть выражение для потенциала силы тяготения точечной массы.

Потенциал тяготения объемных масс или тела. Для вывода формулы для потенциала тела поступим следующим образом. Разобьем притягивающую массу М на бесконечно большое число элементарных масс dm, которые будем рассматривать как точечные массы (рис. 5).

Рис. 5 Иллюстрация к понятию потенциала тяготения тела

Потенциал тяготения элементарной массы, находящейся в текущей точке, для точки Р будет равен

, (2.14)

где потенциал силы тяготения, создаваемый элементарной массой; - элементарный объем; ; - гравитационная постоянная.

Предполагая, что непрерывное распределение масс внутри тела известно, можно записать:

(2.15) - объем тела. Из (2.15) следует, что для определения потенциала тяготения тела необходимо знать форму поверхности, ограничивающей данное тело, и плотность в каждой точке как внутри тела, так и на его поверхности.

Потенциал тяготения простого слоя. Вначале уясним понятие простого слоя. Пусть мы имеем две поверхности (σ и σ′) (рис. 6), расположенные очень близко друг к другу. Обозначим через - объем, заключенный между этими двумя поверхностями. Разобьем объем на элементарные объемы d с элементарными массами dm и будем неограниченно приближать поверхность к , но при этом оставлять неизменной массу внутри элементарного объема.

Рис. 6 Иллюстрация к потенциалу тяготения простого слоя

В результате масса будет сконденсирована на поверхность σ, и этот слой не будет иметь толщины. Такое распределение масс называют простым слоем.

Строго говоря, физически простого слоя в природе не существует, но понятие это вводится, так как облегчаются многие математические выкладки в теории потенциала. Формулу для потенциала тяготения простого слоя напишем по аналогии с формулой для потенциала тяготения объемных масс:

, (2.16)

где элементарный участок поверхности слоя;

поверхностная плотность слоя;

поверхность слоя; —расстояние от элементарного участка слоя до текущей точки Р.

Физический смысл потенциала силы тяготения. Потенциал силы тяготения есть работа, которую совершает сила тяготения при перемещении единичной массы из бесконечности в данную точку.

Уравнение уровенных поверхностей для потенциала силы тяготения имеет вид:

V_i= const. (2.17)

Свойства потенциала силы тяготения формулируются следующим образом:

1. Потенциалы тяготения объемных масс (2..15) и простого слоя (2.16) непрерывны, однозначны и конечны во всем пространстве.

2. Вне притягивающих масс потенциалы тяготения имеют непрерывные производные любых порядков.

3. Первые производные потенциала тяготения объемных масс непрерывны во всем пространстве.

4. Первые производные потенциала тяготения простого слоя терпят разрыв при пересечении слоя.

5. Вторые производные потенциала тяготения объемных масс меняются скачком там, где скачком меняется плотность.

6. Потенциалы силы тяготения во внешнем пространстве удовлетворяют уравнению Лапласа (формула 2.18), а во внутреннем – уравнению Пуассона (формула 2.19).

(2.18)

(2.19)

7. На бесконечности потенциалы силы тяготения являются регулярными функциями, то есть удовлетворяют условиям:

.