14. Задача Стокса и задача Молоденского.

Решение Стокса по определению возмущающего потенциала

Стокс решил задачу по определению возмущающего потенциала при следующих допущениях:

1. Физическая поверхность Земли совпадает с уровнем моря и является уровенной.

2. Поверхность геоида совпадает с поверхностью сферы

радиусом .

3.Потенциал силы тяжести в исходном пункте нивелирования W₀ равен потенциалу силы тяжести на поверхности эллипсоида U₀ (рис.18).

При данных допущениях граничное условие (3.2) в решении Стокса принимает вид:

(3.6)

Далее он применяет математический аппарат третьей краевой задачи теории потенциала и находит выражение для возмущающего потенциала, равное:

, (3.7)

где – возмущающий потенциал;

– аномалия силы тяжести;

функция Стокса;

– поверхность сферы радиусом R.

Функция Стокса имеет вид:

, (3.8)

сферическое расстояние от текущей точки до точки, в которой определяется возмущающий потенциал.

Подставляя (3.7) в формулу Брунса (3.4), получим выражение для аномалии высоты:

(3.9)

(3.9) – формула Стокса по определению аномалии высоты.

Подставляя выражение (3.7) в формулу (3.3), устанавливающих связь возмущающего потенциала с составляющими гравиметрического уклонения отвеса, после дифференцирования и преобразований можно получить формулы для составляющих уклонения отвеса в меридиане и в первом вертикале, которые были выведены голландским ученым Венинг-Мейнесом и носят его имя:

, (3.10)

где А – азимут направления на текущую точку;

функция Венинг-Мейнеса вида:

(3.11)

Стокс рассматривал полученную им интегральную формулу для возмущающего потенциала (3.7) как формулу, которая определяет возмущающий потенциал в точках геоида, а поверхность уровенного эллипсоида ( ) только как отсчетную поверхность, относительно которой определяется поверхность геоида.

Стокс, конечно, понимал, что, заменяя поверхность Земли поверхностью геоида, он отступает от своей собственной теории, согласно которой поверхность, для которой определяется потенциал, должна охватывать все притягивающие массы и являться по отношению к ним внешней, чего нельзя сказать о поверхности геоида, над которой возвышается все материки. Кроме того, сила тяжести измеряется на поверхности Земли, а не на поверхности геоида.

Стокс и его последователи надеялись устранить эти недостатки путем введения уточняющих поправок за редуцирование силы тяжести с поверхности Земли на поверхность геоида, а также за перенесение масс материков внутрь поверхности геоида.

Изучив все трудности решения Стокса, российский ученый Молоденский предложил не связывать решение основной научной задачи высшей геодезии с фигурой геоида, так как фигура геоида, строго говоря, вообще неопределима из-за необходимости знания закона детального распределения плотности между поверхностью Земли и поверхностью геоида. Поэтому он предложил свое решение.

Решение Молоденского по определению возмущающего потенциала

В 1945 году М.С. Молоденский опубликовал свою работу «Внешнее гравитационное поле и фигура Земли», в котором сформулировал и решил проблему определения фигуры Земли без привлечения каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли. Он дал общее решение, из которого решение Стокса получается как первое приближение. Молоденский показал теоретически, что уровенная поверхность геоида, проходящая внутри масс, неопределима и решил задачу для физической поверхности Земли, на которой фактически производятся все гравиметрические и геодезические измерения и для которой определяется аномалия силы тяжести ( ).

Граничное условие Молоденского имеет практически такой же вид, как и в задаче Стокса:

(3.12)

Однако с тем отличием, что и возмущающий потенциал , и нормаль , и аномалии силы тяжести отнесены не к геоиду, а к некоторой кусочно-непрерывной поверхности , названной Молоденским поверхностью Земли первого приближения. Эту поверхность образует система нормальных высот , отложенных от нормального эллипсоида (рис.18). Аномалия ( ) — смешанная аномалия, в которой отнесено к поверхности Земли, а — к точкам поверхности Земли первого приближения. Молоденский доказал, что замена реальной поверхности Земли на поверхность Земли первого приближения не влияет на конечную строгость результата.

Решение краевой задачи М.С. Молоденский находит, представляя возмущающий потенциал через потенциал простого слоя плотности (см. раздел 2.1.1 формула 2.16) и принимая за простой слой слой, расположенный между эллипсоидом и поверхностью Земли первого приближения:

(3.13),

Рис 18. Иллюстрация к понятию поверхности Земли первого приближения

Находя производную от по направлению координатной линии

(3.14)

и учитывая разрыв производной простого слоя при пересечении через поверхность (см. раздел 2.1.1), Молоденский получает интегральное уравнение для сферической отсчетной поверхности, решение которого представляется рядом

(3.15)

В (3.15) совпадает с решением Стокса (3.7). Поэтому решение Стокса в современной научной литературе называют нулевым приближением к решению Молоденского.

Решение Молоденского получилось следующее:

(3.17)

Определяемые по Молоденскому характеристики аномального гравитационного поля находятся по формулам:

, (3.18)

полностью совпадают с решением Стокса, дальше идут уточняющие поправки .

Решение Молоденского является строгим. Согласно Молоденскому для определения возмущающего потенциала необходимо и достаточно знать смешанные аномалии силы тяжести на всей поверхности Земли, то есть наличие мировой гравиметрической съемки позволяет строго решить основную задачу высшей геодезии по определению внешнего гравитационного поля Земли.