• Главная страница

 

• Теория

 

• Карта сайта

 

• Контактная информация

Полезные статьи.

• Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

Размерность и базис векторного пространства, разложение вектора по базису, примеры.

Когда мы разбирали понятия n-мерного вектора и вводили операции над векторами, то выяснили, что множество всех n-мерных векторов порождает линейное пространство. В этой статье мы поговорим о важнейших связанных понятиях – о размерности и базисе векторного пространства. Также рассмотрим теорему о разложении произвольного вектора по базису и связь между различными базисами n-мерного пространства. Подробно разберем решения характерных примеров.

Навигация по странице.

• Понятие размерности векторного пространства и базиса.

• Разложение вектора по базису векторного пространства.

• Связь между базисами.

Понятие размерности векторного пространства и базиса.

Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Определение.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n-мерных векторов.

Покажем, что размерность этого пространства равна n.

Возьмем систему из n единичных векторов вида   Примем эти векторы в качестве строк матрицы А. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ранг матрицы: определение, методы нахождения). Следовательно, система векторов   линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе   равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы   являются базисом этого пространства.

Из последнего утверждения и определения базиса можно сделать вывод, что любая системаn-мерных векторов, число векторов в которой меньше n, не является базисом.

Теперь переставим местами первый и второй вектор системы  . Легко показать, что полученная система векторов   также является базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n. Таким образом, система из n векторов   линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.

Если переставить местами другие векторы системы  , то получим еще один базис.

Если взять линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n-мерного векторного пространства.

Таким образом, векторное пространство размерности n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n n-мерных векторов.

Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Являются ли векторы   базисом трехмерного векторного пространства?

Решение.

Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:   Таким образом, векторы a, b и c линейно независимы и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, они являются базисом этого пространства.

Ответ:

да, являются.

Пример.

Может ли система векторов  быть базисом векторного пространства?

Решение.

Эта система векторов линейно зависима, так как максимальное число линейно независимых трехмерных векторов равно трем. Следовательно, эта система векторов не может быть базисом трехмерного векторного пространства (хотя подсистема   исходной системы векторов является базисом).

Ответ:

нет, не может.

Пример.

Убедитесь, что векторы   могут быть базисом четырехмерного векторного пространства.

Решение.

Составим матрицу, приняв ее строками исходные векторы:   Найдем ранг матрицы методом Гаусса:   Таким образом, система векторов a, b, c, d линейно независима и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, a, b, c, d являются его базисом.

Ответ:

исходные векторы действительно являются базисом четырехмерного пространства.

Пример.

Составляют ли векторы  базис векторного пространства размерности 4?

Решение.

Даже если исходная система векторов линейно независима, количество векторов в ней недостаточно для того, чтобы быть базисом четырехмерного пространства (базис такого пространства состоит из 4 векторов).

Ответ:

нет, не составляет.