1.6. Закономерности экспоненциального роста.

Тот факт, что зависимость энергопотребления от времени в полулогарифмических координатах представляет собой почти прямую линию, означает, что эта зависимость экспоненциальная. В экономике часто встречаются экспоненциальные зависимости. Исследуем некоторые важные закономерности экспоненциального роста энергопотребления. Обозначим черезWустановленную мощность энергетических установок (в мире, в отдельной стране или регионе). Если скорость наращивания мощностейdW/dtпропорциональна установленной в данный момент времениtмощностиW(t), то дифференциальное уравнение, описывающее изменение установленной мощности с течением времени, имеет вид

где k– темп роста,= 1/k– характерное время (период времени, постоянная времени), в течении которого установленная мощность энергоустановок увеличивается вe= 2,72 раза. Темп ростаk= 1/τ называют также эффективностью развития энергетики (экономики). Пусть в начальный момент времени (t= 0) установленная мощность равняласьW_0.. После интегрирования уравнения (1.1) получим закон изменения установленной мощности с течением времени:

W(t) = W₀ exp(kt) = W₀ exp(t/). (1.2)

Экспонента является быстро возрастающей функцией, график которой схематично изображен на рис. 1.6а. Удобнее изображать экспоненциальную зависимость в “полулогарифмических координатах” (рис.1.6б), где она становится линейной. Действительно, логарифмируя предыдущее выражение, получаем

lnW(t) =lnW₀+kt, илиlnW(t)/W₀=kt.

Отсюда следует, что темп kэкспоненциального роста равен тангенсу угла между «полулогарифмической прямой» и осью абсциссt(осью времени).

W(t) аlnW(t) б

tg  = k

W₀ ln W₀

0 t0t

Рис.1.6. Графики экспоненциальной функции в линейном (а) и полулогарифмическом (б) масштабах.

Часто в литературе встречается такой параметр как время (или период) удвоения₂. Это такой период времени, за который установленная мощность возрастает в два раза, то естьW(t+₂) = 2W(t), или

W₀ exp(kt + k₂) = 2W₀ exp(kt), exp(k₂) = 2,

₂= (1.3)

Как видно, период удвоения меньше периода :₂ 0,7(рис.1.7). Найдем теперь связь этих параметров сотносительным приростомвеличиныW. Увеличение (абсолютный прирост) мощностейWза произвольный период времениtсоставляет

W=W(t+t) –W(t) =W₀exp(kt+kt) -W₀exp(kt) =W₀exp(kt)exp(kt) -1.

Отсюда находим относительный прирост мощностей за период t:

(1.4)

Как видно, относительный прирост не зависит от текущего момента времени t, а только от периодаtнаблюдения за изменением. Из последнего выражения находим искомую взаимосвязь

(1.5)

При малом относительном приросте W/W1, разлагая логарифм в ряд и ограничиваясь первыми членами разложения, получим приближенно

k  (1/t).( W/W).

Здесь учтено, что ln(1+x) ≈x-x²/2 +x³/3 +… при х<<1.

Полагая t=1 год, находим относительный ежегодный прирост установленной мощностиW/Wk. Так при ежегодном приросте 1 % период удвоения мощностей равен₂= 69 лет, приW/W= 10 % в год получаем₂= 6,9 лет. Периоду удвоения 10 лет соответствует ежегодный прирост 7 %.

W

eW₀

2 W₀

W₀

0 ₂  t

Рис.1.7. К определению периода удвоения.

Определим теперь суммарное количество произведенной энергии Е за некоторый период времени Т. При заданной мощности энергоустановок Wза малое времяdtони выработают количество энергииdE=Wdt. Суммарное количество произведенной энергии Е за период времени Т определяется интегрированием функцииW(t) по времениtот 0 до Т. При экспоненциальном росте установленных мощностей энергоустановок получаем искомую функцию Е(Т):

E= . (1.6)

На графике W(t) эта величина численно равна площади под кривойW(t) (рис.1.8). При достаточно больших временах наблюдения, когдаTили, что то же,kT1, можно пренебречь экспонентой в последней скобке по сравнению с 1. Тогда ЕW(T), то есть величина Е практически не зависит от начальной мощностиW₀и целиком определяется конечной мощностью и темпом развития. Эта формула позволяет оценить, например, количество энергии, израсходованной человечеством за все время его существования. Полагая, что в настоящий момент времени ежегодно расходуетсяW(T) = 0,3Q/год энергии, и ежегодный прирост потребления энергии был на протяжении всей истории Т постоянным и равным 3 % (W/W= 0,03k, то есть= 1/k33 года), получаем полный расход энергии Е10Q= 10²²Дж.

W(t)

W(T)

E

W₀

0 T t

Рис.1.8. Схема к определению расхода энергии за период времени Т.

Итак, все пять основных элементов мировой системы – численность населения, производство продуктов питания, индустриализация, загрязнение окружающей среды и потребление невозобновляемых природных ресурсов – возрастают практически по экспоненциальному закону. Экспоненциальный рост опасен тем, что может очень быстро, как бы внезапно, генерировать огромные числа. Интересен такой пример. Предположим, что у вас имеется пруд заданной площади, в котором растут лилии. Каждый день количество лилий удваивается. Если бы лилиям позволили разрастаться бесконтрольно, то вся поверхность пруда заросла бы, например, за 30 дней, уничтожив при этом все другие формы жизни в воде. В начале процесса довольно долго заросшая лилиями часть пруда остается маленькой, и вы не беспокоитесь и не срезаете лишние лилии до тех пор, пока они не покроют половину поверхности пруда. На какой день это произойдет? Конечно же, на 29-ый. Для спасения пруда вам остается всего один день.