19. Замена переменой в двойном интеграле.

П усть на отрезке [а, b] заданы непрерывные функции у₀(х) и У(х) такие, что у₀(х)≤У(х) для любых х[а, b] и пусть на множестве {E_i} точек (х, у) таких, что a≤x≤b и у₀(х)≤у≤ У(х) определена функция f(x, y).

Если для любого фиксированного х[а, b] функция f(x, y) как функция у интегрируема на отрезке [у₀(х), У(х)], то это значит, что су­щест­вует

а функция

интегрируема на отрезке [а, b], то

называется повторным интегралом и обозначает­ся:

20. Выч. Двойного интеграла в полярной системе координат.

прямоугольную систему координат на плоскости ху, у которой положительное направление оси Ох совпадает с направлением полярной оси.

x=cos; y=sin; 02;

Уравнение  ₁₂ и  непрерывная функция, определяющая в полярной системе координат кривую , т.е. геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Зададим в плоскости ху область, ограниченную лучами ₁, ₂ и кривой . Пусть в этой области задана непрерывная функция f(x, y). Тогда имеет место равенство:

Площадь произвольной элементарной фигуры (элемент площади) в полярных координатах равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка. S; dSdd;

Строим интегральную сумму:

Пределу при n этой суммы равен двойному интегралу от функции f на Е:

Если центр полярной системы координат расположен внутри границы области Е, то тогда:

В случае если =₁() и =₂(), ₁<<₂ то

21. Приложение двойного интеграла

.

22. Тройной интеграл

Пусть ограниченное множество {E_i}R³. В трехмерном случае будем рассматривать области, имеющие в качестве своей границы кусочно-гладкие поверхности, т.е. области, имеющие кусочно-гладкие границы.

Определение: Поверхность называется глад­кой, если в любой его точке к ней можно про­вести касательную плоскость, непрерывно меняющуюся вместе с этой точкой. Поверхность называется кусочно-гладкой, если ее можно разрезать на конечное число гладких кусков.

Для трехмерных ограниченных плоскостей с кусочно-гладкими границами можно определить их объем (их трехмерную меру):

Е, mesE, V.

Зададим на ЕR³ ограниченную функцию f. Зададим разбиение {E_i} и выберем точку х_i из {E_i}. Тогда интегральная сумма имеет вид:

Если интегральная сумма имеет предел I при стремлении d{E_i}0, то это число называется тройным интегралом от функции f на Е и обозна­чается:

23. Замена переменой в тройном интеграле.

Пусть функция f(x, y, z) определена на ЕR³.

Е_ху – проекция множества Е на плоскость (х, у), если множество Е={(x, y, z)(x, y)E_xy, z₀(x, y)zZ(x, y)}.

E_xy={(x, y)axb, y₀(x)yY(x)},

где функции Z(x, y), y₀(x), Y(x) соответственно непрерывны на [a, b] и на множестве {Е_ху}. f(x, y, z) также непрерывна на {E}. Тогда имеет место формула:

При f(x, y, z)=1 ((x, y, z)E) получим:

24. Вычисление тройного интеграла в сфер. Координатах.

Рассмотрим сферические координаты. Пусть М некоторая точка пространства. Положение этой точки в пространстве можно определить тремя следующими величинами:

-  - длина радиус-вектора точки М;

-  - угол, составляемый радиус-вектором с осью Oz – полярной осью;

-  - угол, составляемый с осью х проек­цией ОМ (вектор)=cos(/2-)=sin радиус-вектора на плоскость ху.

0+, 0, 02, тогда х=sincos, y=sinsin, z=sin(/2-)=cos.

Система уравнений

осуществляет переход от полярных координат в пространстве к декартовым координатам.

Мера множеств, где нарушается взаимооднозначное соответствие, равна 0.! Координатные поверхности сферических координат составляют три семейства:

1. =const – концентрические сферы с центром в начале координат;

2. =const – круговые конусы, осью которых служит ось z;

3. =const – полуплоскости, проходящие через ось z.

Пусть  - поверхность, описываемая в полярных координатах функцией =(, ) ((, )).

Функция (, ) непрерывна на замыкании , и пусть  - трехмерная область пространства (x, y, z), ограниченная поверхностью  и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются край . Тогда для непрерывной на функции f(x, y, z) имеет место равенство:

где F(, , )=f(sincos, sinsin, cos),

воспользовавшись формулой замены переменных в тройном интеграле. Т.к. 0, то cos0. V=²sinddd