Криві зростання та моделі процесів, які до них зводяться. Криві Перла, Гомперца

Криві Перла і Гомперца використовувалися при прогнозі таких параметрів, як зростання коефіцієнта корисної дії парових двигунів, ріст ефективності радіостанцій, ріст тоннажу судів торговельного флоту і т.д. Пізніше з'ясувалося, що S-образні криві добре описують процеси заміщення однієї техніки іншою, зміну технологій, еволюційні процеси в екологічній і соціокультурних сферах.

Математичні моделі оцінки власного інформаційного ресурсу І₀А(t), виробленого суб'єктом “МІВ А” в момент часу t, та поширюваного на інші суб’єкти, залежать від фізичного змісту оцінки.

Якщо розглядати процес поширення інформації як дифузійний процес (ДП), то необхідно визначити, що ДП - процес зростання або розсіювання, процес в якому абсолютний приріст ∆у у будь-якої величини у при зміні аргумента ∆х пропорційний існуючому значенню цієї величини, тобто

∆у=k*у*∆х,

де k - коефіцієнт пропорційності.

Моделі дифузії можуть застосовуватися як при описі зростання (поширення) інформації в середовищі однієї соціальної системи “МІВ” так і від одного суб’єкта до інших, також застосовуються при вивченні динаміки антисоціальних процесів - колективний опір, терористи, поширення наркоманії.

Розглянемо розв’язок рівняння ІА(t)= І₀А*exp(k*(t-t_o)).

Крива Перла

ІА(t)= І₀А+L/(1+a*exp(k*(t-t_o))),

де І₀А – початкове значення ІА(t) при (t-t_o); 1 - межа значень ІА(t), a, k - параметри, при цьому а визначає місце кривої на часовій осі, k - крутизну кривої.

Графік (Див.Рис. 4.) демонструє три фази розвитку: 1)формування бази розвитку (повільний ріст), 2)бурхливий ріст, 3)насичення (повільний ріст).

Галузь застосування - моделі соціальних і політичних симетричних процесів з насиченням. Отримані американським біологом Перлом  при вивченні росту організмів і популяцій. Прогнозування з кривою Перла полягає в тому, що визначивши на ранніх етапах розвитку певного процесу параметри а, k можна оцінити межу L та можливий час її досягнення, а також точку перегину t=t_o+(ln a)/k

Крива Гомперца

ІА(t)= І₀А+L*exp(-a*exp(-k*(t-t_o))),

де І₀А - початкове значення ІА(t) при (t-t_o); L – межа значень ІА(t), a, k - параметри, при цьому а визначає місце кривої на часовій осі, k - крутизна кривої.

На відміну від кривої Перла ця крива несиметрична, точка перегину t=to+(ln a)/k.

Галузь застосування -  крива Гомперца може бути використана для прогнозування розвитку інфраструктури інформатизації: кількості мобільних телефонів, кількості користувачів Інтернет тощо.

Як крива Перла, так і крива Гомперца можуть бути віднесені до класу так званих S-образних кривих. Для таких кривих характерний експонентний або близький до експонентного ріст на початковій стадії, а потім при наближенні до точки насичення вони приймають більш пологий вигляд.