1. & 30 Формулы комбинаторики, основные определения.

Матем статистика- раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Матеем статистика опирается на теорию вероятностей. Если теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания действительности (теоретической вероятностной модели), то матем статистика оперирует непосредственно результатами наблюдений над случайным явлением, представляющими выборку из некоторой конечной или гипотетической бесконечной генеральной совокупности. Используя результаты, полученные теорией вероятностей, матем статистика позволяет не только оценить значения искомых характеристик, но и выявить степень точности получаемых при обработке данных выводов.

Математическая статистика по наблюденным значениям оценивает вероятности этих событий либо осуществляет проверку предположений относительно этих вероятностей. В матем статистике, наоборот, исследование связано с конкретными данными и идет от практики к гипотезе и ее проверке.

Определим основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается

Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Определим основные комбинации

Рп = п!

Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

Схема выбора без возвращения.

1) Дать определение основных видов событий, полной группы событий, произведения и суммы событий. Сформулировать ассоциативный, дистрибутивный и коммутативный законы применительно к операциям над событиями.

2. Случайное событие

Случайное событие – явление, которое может произойти или нет при осуществлении опыта. Опыт (испытание)- всякое осуществление определенного комплекса условий (S), при котором можно наблюдать некоторые явления. Если при осуществлении комплекса условий событие не может произойти, то оно называется невозможным (Ø). Если при осуществлении комплекса условий событие обязательно произойдёт, то оно называется достоверным (Ω). Событие А влечет за собой событие В (А с В), если при наступлении А наступает и В. Произведением событий А и B называется событие C, которое означает, что одновременно осущ-ся и А и B. Суммой соб. А и B нзв соб.C, которое означает осущ-е хотя бы одного из соб. А или B. Несовместные события – если произведение 2-х событий есть невозможное событие. Множество (W) всех элементарных исходов данного опыта называется пространством элементарных исходов (событий). События А и В называются противоположными, если для них одновременно выполняется: 1) А*В=Ø; 2) А+В = Ω

Полная группа событий – множество попарно несовместных событий, сумма которых есть достоверное событие.

Операции с событиями:

1) Коммуникативный закон: А+В=В+А

2) Ассоциативный: А+(В+С)=(А+В)+С, А*(В*С)=(А*В)*С

3) Дистрибутивный А(В+С)=АВ+АС

3. Основные типы событий. Алгебра событий.

Соб. А₁ и А₂ нзв равными, если осуществление соб.А₁ влечет за собой осуществление соб. А₂ и наоборот.

А₁=А₂

Суммой (объединением) соб. А и B нзв соб.C, к-рое означает осущ-е хотя бы одного из соб. А или B.

Произведением (пересечением) соб. А и B нзв соб. C, к-рое означает, что одновременно осущ-ся и А и B.

Разностью соб. А и B нзв соб. C, к-рое означает, что происх. соб. А, но не происх. соб. B.

Соб. Ā нзв противоположным по отношению к соб. А, если оно состоит из элемент.соб., не входящих в соб.А, но входящих в простр-во элемент.соб. Ω.

Ā=Ω\А

А+Ā=Ω

Несовместные события:

А∙B=Ø

4. Понятие вероятности события.

Пусть события

A1, A2,... ,An  S

(*)

образуют множество элементарных событии. Тогда события из (*), которые приводят к наступлению события А, называются благоприятствующими исходами для события А, т(А) - число благоприятствующих исходов.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события А к числу всех возможных исходов:

Из классического определения следуют свойства вероятности:

1. 0  P(A)  1;

2. P()=1;

3. P()=0.

A + A = Q - достоверное событие, поэтому

Р(А) + Р(A) = 1 или Р(A) = 1 - Р(А).

Статистическое определение вероятности

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n →  называется статистической вероятностью события А. Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний. В случае статистического опред вероятность облад след св-ми: 1) вероятность достоверного события = 1, 2) вероятно невозможного соб = 0 3) вероятн случ соб заключ между 0 и1. 4) вероятн суммы двух несовместных соб = сумме вероятностей этих соб.