33. Расстояние от точки до плоскости.

Дано: , П : Ах + Ву + Сz + D = 0, М(х₀, у₀, z₀).

Найти расстояние d(M₀, П) от точки М₀ до плоскости П.

Из уравнения плоскости П следует, что вектор перпендикулярен плоскости П. Опустим из точки М₀ перпендикуляр NM₀ на плоскость П (рис. 51). Пусть N(x₁, y₁, z₁). Тогда Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 (). Искомое расстояние d(M₀, П) = ()

Вектор коллинеарен с вектором . Так как , то (). Отсюда и из равенства () следует, что d(M₀, П) = = (). Итак, задача свелась к нахождению . Умножим скалярно на обе части равенства (), получим .

Перейдя к координатам и учитывая, что система координат прямоугольная, получим A(x₀  x₁) + B(y₀  y₁) + C(z₀  z₁) = (A² + B² + C²). Так как A² + B² + C²  0, то

.

Из равенства () следует, что = D. Итак, . Подставив  в (), получим d(M₀, П) = (52)

Задача 18. Дано: , П : 12х + 3у  4z  35 = 0.

Найдите уравнения плоскостей, параллельных П и отстоящих от неё на расстоянии 5.

Решение. Обозначим искомые плоскости П₁ и П₂ . Тогда М  (П₁  П₂)  d(M, П) = 5. Используя формулу (52), получим М  (П₁  П₂)  . После упрощения получим . Раскрывая модуль, получим уравнения двух плоскостей:

П₁ : 12х + 3у  4z  80 = 0 и П₂ : 12х + 3у  4z + 10 = 0.

34. Уравнения прямой, проходящей через а) данную точку параллельно данному вектору; б) две данные точки.

а) данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение прямой)

Пусть прямая проходит через точку   параллельно вектору  . Тогда вектор , где   – произвольная точка прямой, коллинеарен вектору   – направляющему вектору прямой    и координаты любой точки прямой   удовлетворяют каноническому уравнению прямой

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через точки   и  , то ее направляющим вектором можно считать вектор  .

Уравнением прямой, проходящей через две точки   и   называется уравнение вида

.

В случае, когда один из знаменателей равен нулю (  соответствующий числитель тоже равен нулю ( : если  , то прямая, проходящая через точки   и  , параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид 

если  , то прямая, проходящая через точки   и  , параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид 

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, находится по формуле .

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки   и 

Решение. или , так как , то прямая имеет уравнение , значит она параллельная оси ординат.

35. Общие уравнения прямой, приведение общих уравнений к каноническому виду.

Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1)найти любое решение системы

определяя тем самым координаты точки  , принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор   прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

3) записать каноническое уравнение с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты   точки  , а коэффициентам   придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке  , т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку  .

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

36. Исследование взаимного расположения а) двух прямых, б) прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

• Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

• Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

• В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости , а прямая с пересекает   в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость   || b (в плоскости   указана прямая a₁ || b).

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

б) прямой и плоскости.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением ,а прямая L задана каноническими уравнениями или параметрическими уравнениями

, ,в которых координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, – координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1. если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

(7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

Доказательство. Условие говорит о том, что векторы и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит, пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости. Теорема доказана.