2. Пучок задан парой пересекающихся прямых.
Дано. R = , l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0 (рис. 44).
Найти уравнение пучка.
Решение.
Пусть l1
l2
= С и С(х0,
у0).
Точка С будет центром пучка. Используя
уравнение (36) получим, что прямая l
принадлежит пучку
l
:
.
Здесь вектор
любой ненулевой вектор. Из уравнений
прямых l1
и l2
векторы
и
параллельны прямым l1
и l2
соответственно,
поэтому они не коллинеарны. Следовательно,
любой вектор
,
где ,
- любые действительные числа, не равные
нулю одновременно. Отсюда
.
Уравнение (36) перепишется
.
После преобразования получим:
().
Так как С = l1 l2, то A1x0 + B1y0 + C1 = 0 и A2x0 + B2y0 + C2 = 0. Отсюда ( A1x0 + B1y0) = С1, ( A2x0 + B2y0) = 0. Подставив в (), получим уравнение данного пучка
(37)
В уравнении (37) тоже две пары переменных (, ) и (х, у).
Задача 15. Дано: R = , l1 : 3х + 4у +12 = 0, l2 : 4х + 3у 24 = 0, l3 : х + 2у + 3 = 0.
Найти уравнение прямой l, Если l (l1 l2) и l l3.
Решение. Так как l (l1 l2), то l принадлежит пучку прямых, определяемому прямыми l1 и l2. Следовательно, уравнение l можно искать в виде
(3х + 4у +12 ) + (4х + 3у 24) = 0 ()
Преобразовав это уравнение, получим (3 + 4)х + (4 +3)у + (12 24) = 0 ().
Используем условие перпендикулярности прямых (33). Получим 1(3 + 4) + 2(4 +3) = 0, или 11 + 10 = 0. Так как все решения этого уравнения пропорциональны, а уравнение () при пропорциональных парах (, ) задаёт одну и ту же прямую, то достаточно найти одну ненулевую пару (, ). При = 10 = 11. Подставив в (), получим уравнение l: 14х 4у 384 = 0.