Б) две данные точки.

На плоскости Дано: R = , М1(х1, у1), М2(х2, у2), М1  М2; l  M1, l  M2. Найти уравнения l. Так как М1  М2, то и l  . Следовательно, можно использовать уравнения (15) и (16). Получим (17) Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки. Из уравнения (16) получим (18) Это каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки.

В пространстве Дано: R = , М1(х1, у1,z1), М2(х2, у2, z2), М1  М2; l  M1, l  M2. Найти уравнения l. Так как М1  М2, то и l . Следовательно, можно использовать уравнения (151) и (161). Из уравнений (151) получим (171) t R. Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки. Из уравнения (161) следует (181). Это канонические уравнения прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой линии, пересекающей ось   в точке   и ось   в точке  :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

20. Общее уравнение прямой.

Из уравнений (16) и (18) видно, что любую прямую на плоскости можно задать уравнением первой степени с двумя переменными. Возникает обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени с двумя переменными задаёт в аффинной системе координат на плоскости некоторую прямую? Аналогично, уравнения (16¹) и (18¹) эквивалентны системе двух независимых уравнений первой степени с тремя переменными. Поэтому возникает обратная задача: Любая ли система двух независимых уравнений первой степени с тремя переменными задаёт в аффинной системе координат в пространстве прямую?

I.Общее уравнение прямой на плоскости

Дано: R = и уравнение Ах + Ву + С = 0, где из коэффициентов А и В хотя бы один отличен от нуля.

Показать, что данное уравнение определяет прямую.

Доказательство. Пусть В  0. При х₀ = 0 из данного уравнения получаем у₀ = . Вектор не нулевой, поэтому существует и только одна прямая l такая, что l  М₀, где М₀(х₀, у₀) и l  . Запишем уравнение l, используя (16). Получим . После преобразования Ах + Ву + С = 0. Получили данное уравнение. Следовательно, оно задаёт прямую.

Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общее уравнение прямой на плоскости. При этом из доказательства следует, что вектор параллелен этой прямой.

II. Общие уравнения прямой в пространстве

Дано: R = и система (19), где коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂ .

Показать, что данная система определяет прямую.

Доказательство. Пусть (х₀, у₀, z₀) – одно из решений данной системы, т.е. Вычтем из данной системы почленно полученные тождества. Получим систему (), эквивалентную данной. Это система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными. Так как её коэффициенты не пропорциональны, то эта система имеет бесконечно много решений, причём все решения пропорциональны. Следовательно, достаточно найти одно ненулевое решение. Таким решением будет тройка . Проверим это подстановкой. Подставим в первое уравнение: Подставим во второе уравнение: Итак, тройка удовлетворяет обоим уравнениям системы (). Эта тройка не нулевая. Следовательно, все решения системы () можно записать в виде

или (20)

Итак, система эквивалентна системе (20). Но система (20) это параметрические уравнения прямой. Следовательно, уравнения (19) задают прямую в аффинной системе координат в пространстве.

Уравнения (19) называются общие уравнения прямой в пространстве. Если прямая задана уравнениями (19), то вектор = параллелен данной прямой.

Замечание. Если прямая в пространстве задана общими уравнениями, то для приведения их к параметрическому (или каноническому виду) достаточно найти одно решение (х₀, у₀, z₀) этих уравнений, найти вектор и использовать уравнение (20) или .

21. Исследование взаимного расположения двух и трёх прямых.

I. Исследовать взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями в АСК на плоскости.

Дано. R = , l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование. Взаимное расположение прямых на плоскости зависит от числа их общих точек. Точка является общей для двух прямых тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых, т.е. удовлетворяют системе уравнений

(21)

Таким образом геометрическая задача сведена к алгебраической – к исследованию системы двух уравнений с двумя неизвестными. Из курса алгебры известно, что для такой системы возможны три случая.

1. . В этом случае система (21) имеет единственное решение. На геометрическом языке это означает, что прямые l₁ и l₂ имеют одну общую точку, т.е. пересекаются. Итак, условие есть условие пересечения прямых, заданных общими уравнениями.

2. . В этом случае уравнения системы (21) эквивалентны, т.е. все решения одного из них являются решениями другого. На геометрическом языке – все точки одной прямой лежат на другой, т.е. прямые совпадают.

3. . В этом случае система (21) не имеет ни одного решения. На геометрическом языке – прямые l₁ и l₂ не имеют ни одной общей точки.

Если вспомнить определение: прямые l₁ и l₂ называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не имеют ни одной общей точки, то получаем, что прямые l₁ и l₂ параллельны тогда и только тогда, когда .

II. Исследовать взаимное расположение прямых на плоскости в АСК, если одна из прямых задана общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Дано. R = , l₁ : Ax + By + C = 0, l₂ :

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование. Взаимное расположение прямых на плоскости зависит от числа их общих точек. Точка является общей для двух прямых тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых, т.е. удовлетворяют системе уравнений

(22)

Подставив выражения х и у в первое уравнение и приведя подобные, получим

t*(Am + Bn) + (Ax₀ + By₀ + C) = 0 (23)

Для уравнения (23) возможны три случая.

1. Am + Bn  0. В этом случае Уравнение (23) имеет одно решение. На геометрическом языке это значит, что l₁ и l₂ имеют одну общую точку. Получили условие пересечения прямых.

2. Am + Bn = 0 и Ax₀ + By₀ + C = 0. В этом случае уравнение (23) имеет вид 0*t + 0 = 0. Этому уравнению удовлетворяют все t R. На геометрическом языке это значит, что все точки второй прямой принадлежат первой прямой, т.е. прямые совпадают.

3. Am + Bn = 0, но Ax₀ + By₀ + C  0. Уравнение (23) не имеет решения. Следовательно, прямые l₁ и l₂ не имеют ни одной общей точки.

Из случаев 2 и 3 получаем: прямые l₁ и l₂ параллельны тогда и только тогда, когда Am + Bn = 0.

III. Исследовать взаимное расположение двух прямых в АСК в пространстве, если прямые заданы параметрическими (или каноническими) уравнениями.

Дано: R = , , : .

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование. Из уравнений первой прямой М₁(х₁, у₁, z₁)  l₁, , l₁. Из уравнений второй прямой М₂(х₂, у₂, z₂)  l₂, , l₂. Возможны следующие случаи.

1. l₁l₂    .

2. l₁= l₂   и М₁  l₂  и .

3. l₁ пересекает l₂  векторы компланарны  = 0.

4. l₁ скрещивается с l₂  векторы не компланарны   0.

22. Уравнения прямой, проходящей через данную точку

а) перпендикулярно данному вектору;

Дано: R = , М₀(х₀, у₀), , , l  M₀, l  .

Найти уравнение l.

Найти уравнение l – это значит найти условие, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек.

М  l  либо , либо  ()

Так как , то () перепишется (24)

Полученное уравнение – это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Переписав уравнение (24) в координатах, получим

А(х  х₀) + В(у  у₀) = 0 (25)

Поставим обратную задачу:

Дано: R = , l : Ax + By + C = 0 ().

Доказать: если , то .

Доказательство. Пусть М(х, у) – произвольная точка данной прямой и М₀(х₀, у₀) – некоторая фиксированная её точка. Тогда Ах₀ + Ву₀ + С = 0. Вычитая почленно полученное тождество из уравнения (), получим уравнение А(х  х₀) + В(у  у₀) = 0, эквивалентное уравнению (), т.е. уравнение (25). Если , то (25) можно записать Вектор либо нулевой, либо параллелен l. Так как , то для всех точек М  l , отличных от М₀, имеет место . Отсюда следует, что .

Рис.35 Рис.36 Рис. 37

б) под данным углом к оси (ОХ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Дано: R = , М₀(х₀, у₀), l  М₀, (угол  ориентированный).

Найти уравнение l.

Для решения задачи достаточно знать вектор, параллельный данной прямой. Возьмём вектор такой, что и . Очевидно,  l. Так как координаты вектора в прямоугольной системе координат равны ортогональным проекциям этого вектора на соответствующие оси, то . Используя каноническое уравнение прямой на плоскости (16), получим

l : (26)

Прямые, не перпендикулярные оси (Ох) называются наклонными. Для таких прямых , следовательно, уравнение (26) можно привести к виду

, где (27)

Если l  (Ох), то уравнение (26) можно привести к виду х = х₀ (28) Это уравнение вертикальной прямой.

Если l – наклонная прямая и l  (Оу) = В, где В(0, в), то уравнение (27) преобразуется к виду у = кх + в (29)

Уравнение (29) называют уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении к – тангенс угла наклона прямой к оси (Ох), в – отрезок, отсекаемый прямой на оси (Оу).