Ll. Прямая линия на плоскости

18. Условия, определяющая фигуру в аффинной и прямоугольной системах координат.

Фигурой называется любое множество точек.

Пусть даны любая система координат (на плоскости или в пространстве) и произвольная фигура Ф. Тогда каждая точка, в том числе и каждая точка фигуры, будут определяться своими координатами. Если точку в фигуре менять, то будут меняться и её координаты. Но (если только фигура не совпадает с плоскостью или пространством), меняясь, координаты точек фигуры будут удовлетворять каким-то условиям.

Определение 23. Условием, определяющим фигуру Ф в данной системе координат называется такое условие, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре Ф, и не удовлетворяют координаты никаких других точек.

Примеры. Найти условия, определяющие следующие фигуры.

1. Ось (Ох) в аффинной системе координат на плоскости (рис. 26).М  (Ох)  .

Следовательно, условие, определяющее ось (Ох) в аффинной системе координат на плоскости, есть у = 0.

2. Ось (Ох) в аффинной системе координат в пространстве (рис. 27).М  (Ох) 

Следовательно, условие, определяющее ось (Ох) в аффинной системе координат в пространстве, есть

3. Окружность радиуса r с центром в точке М₀(х₀, у₀) в прямоугольной системе координат на плоскости (рис. 28).

М  окр(М₀, r)  М₀М = r.

Перепишем последнее равенство в координатах, используя тот факт, что система координат прямоугольная.

М  окр(М₀, r) 

Так как в последнем равенстве обе части неотрицательны, то оно эквивалентно условию (12)

Рис. 26 Рис. 27 Рис.28 Рис.29

В приведённых примерах условия, определяющие фигуру, являются либо уравнениями, либо системами уравнений. Если условие, определяющее фигуру является уравнением или системой уравнений, то оно называется уравнением (уравнениями) данной фигуры. Так, уравнение оси (Ох) на плоскости у = 0. Уравнения оси (Ох) в пространстве Уравнение окружности в прямоугольной системе координат на плоскости

4. Шар радиуса r с центром с(х0, у0, z0) в прямоугольной системе координат в пространстве (рис. 29).

М  шар (С, r)  СМ  r.

Перепишем последнее равенство в координатах, используя тот факт, что система координат прямоугольная.

М  шар (С, r) 

Так как в последнем равенстве обе части неотрицательны, то оно эквивалентно условию

(13)

Обратная задача:

Пусть на плоскости (или в пространстве) зафиксирована аффинная система координат и задано условие, связывающее две (или три) переменные. Например, F(x, y) = 0. Если {(x, y)}  множество всех упорядоченных пар действительных чисел, удовлетворяющих данному условию, то в данной системе координат это множество определяет множество точек, т.е. фигуру.

Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве

19. Уравнения прямой, проходящей через а) данную точку параллельно данному вектору; б) две данные точки. Уравнение прямой в отрезках.

а) данную точку параллельно данному вектору

На плоскости Дано: R = , М0(х0, у0), , ,l  M0, l  . Найти условие, определяющее l. Пусть М(х, у). Рис. 30 М  l  коллинеарен  либо 1) либо 2) координаты и пропорциональны. Рассмотрим оба случая. 1) М  l  Если , , то получим (14) Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Перепишем в координатах. Получим Отсюда (15) В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. 2) М  l  координаты и пропорциональны  (16). Это канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

В пространстве Дано: R = , М0(х0, у0, z0), , , l  M0, l  . Найти условие, определяющее l. Пусть М(х, у, z). Рис. 301 М  l  коллинеарен  либо 1) либо 2) координаты и пропорциональны. Рассмотрим оба случая. 1) М  l  Если , , то получим (141) Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Перепишем в координатах. Получим Отсюда (151) В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку данному вектору. 2) М  l  координаты и пропорциональны  (161) Это канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.