2. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

 

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

II.2.5.1.Формула полной вероятности.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой  ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

 

P(A) = P(Hi ) P(A Hi ),

(3.21)

 

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi;

P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АH1 H2 … АHn  , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому

 

 

В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (3.21).

 

2.5.2. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).

Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

 

(3.22)

 

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1| А), … P(Hn| А) – апостериорными.

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi) P(А| Hi) = P(Hi) P(Hi| А):

 

 

откуда, с учетом (3.21), получается выражение (3.22).

Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (3.21), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):

 

(3.23)

 

Выражение (3.23) называют формулой для вероятностей будущих событий.

3.1. Случайные величины и их характеристики.

Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина – величина, принимающая только отделенные (разрозненные) друг от друга значения, которые можно заранее перечислить (например, число агрегатов, вышедших одновременно из работы).

Если дискретная случайная величина Х принимает значения Х1, Х2, …, Х_m c заданными вероятностями Р1, Р2, …, Р_m , то соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения.

Для дискретных случайных величин закон распределения вероятностей наиболее просто задать с помощью таблиц распределения.

Непрерывная случайная величина – величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал) – например, изменения нагрузки.

ЛЕКЦИЯ 5

ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

ЭЛЕМЕНТОВ ЭЭС И

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТАНОВОК

Показателем надежности называется количественная характеристика одного или нескольких свойств, определяющих надежность объекта. Их подразделяют на единичные, характеризующие одно свойство, и комплексные, характеризующие несколько свойств. Единичные показатели применяются в основном для характеристики отдельных конструктивных элементов, комплексные — для узлов нагрузки и систем в целом.

Единичные показатели надежности.

Их можно подразделить на показатели безотказности и восстанавливаемости.

Основной количественной характеристикой безотказности является вероятность безотказной работы , т. е. вероятность того, что в заданном интервале времени (или в пределах заданной наработки) при заданных условиях работы не произойдет отказа . Функцией, характеризующей противоположное событие, является вероятность отказа, или ненадежность . Очевидно, что .

Функция обладает всеми свойствами интегральной функции распределения случайной величины – времени безотказной работы: при при при .

Плотность распределения случайной величины. Это есть производная от функции распределения:

. (5.1)

Интенсивность отказов :

, (5.2)

где ; (5.3)

– экспоненциальный закон надежности.

Единичными показателями надежности простых элементов схем электрических соединений являются:

• частота отказов , 1/год;

• среднее время восстановления элемента , год;

• частота плановых ремонтов , 1/год;

• средняя продолжительность планового ремонта , год.

Частота отказов элементов (собственная частота) оценивается числом повреждений оборудования в единицу времени и определяется как отношение числа отказавшего оборудования за расчетный период к общему числу комплектов оборудования :

. (5.4)

Частота отказов измеряется количеством отказов за год и равна обратной величине времени наработки на отказ . Среднее время восстановления элемента , лет, определяется временем восстановительного ремонта.

К показателям восстанавливаемости относятся вероятность восстановления объекта и вероятность невосстановления . Функция , так же как , является интегральной функцией распределения случайной величины времени восстановления с дифференциальным законом:

. (5.5)

Для характеристики надежности простых элементов используются также комплексные показатели.

К числу комплексных показателей надежности относятся:

• вероятность состояния отказа ;

• коэффициент готовности ;

• коэффициент аварийного (вынужденного) простоя ;

• коэффициент технического использования ;

• средний недоотпуск электроэнергии ;

• средний ущерб на один отказ;

• удельный ущерб.

Вероятность состояния отказа элемента определяется как произведение частоты отказов на время восстановления элемента и является безразмерной величиной:

. (5.6)

Вероятность планового ремонта:

. (5.7)

Вероятность безотказной работы:

. (5.8)

Коэффициент готовности характеризует частично свойство безотказности и ремонтопригодности. Он представляет собой вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени между плановыми ремонтами и осмотрами, при экспоненциальном законе распределения времени восстановления :

, (5.9)

где – среднее время безотказной работы элемента;

– среднее время аварийного восстановления.

Коэффициент аварийного простоя или коэффициент вынужденного простоя :

. (5. 10)

Коэффициент технического использования — отношение математического ожидания времени пребывания объекта в рабочем состоянии T_P к суммарному времени эксплуатации Т_Э за календарный период Т_К, Т_К  Т_Э:

(5.11)

Средний недоотпуск электроэнергии Э — математическое ожидание количества электроэнергии, недоотпущенной потребителям за заданный период времени:

(5.12)

где Р_Д, t_Д — соответственно случайные величины дефицита мощности и продолжительности существования состояний, при которых возникает дефицит мощности у потребителей; f(t_Д, P_Д) — плотность вероятности этой системы случайных величин.

В расчетах недоотпуска электроэнергии случайные величины t_Д и Р_Д часто принимают статистически независимыми.

Средний недоотпуск электроэнергии — очень важный показатель надежности, его оценка для узлов нагрузки и системы в целом является одной из конечных целей расчетов надежности.

В оценках надежности систем электроснабжения используются также комплексные показатели, имеющие стоимостную форму: средний ущерб на один отказ — математическое ожидание ущерба; удельный ущерб — ущерб, отнесенный либо к единице недоотпущенной электроэнергии, либо к единице ограничиваемой мощности, либо к единице времени. Эти показатели применяются в технико-экономических расчетах, когда возникает необходимость экономической оценки надежности.