38. Многочлен
МНОГОЧЛЕН (полином), сумма одночленов, которые являются произведениями, состоящими из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята с тем или иным показателем степени. В общем виде, многочлен имеет форму Pn(x)=аnхn+an-1xn-1+аn-2хn-2+....+а2х2+a1х+а0, где а0....аn-1, аn - КОЭФФИЦИЕНТЫ многочлена. Степенью многочлена является самый высокий показатель степени в этой сумме с ненулевым коэффициентом. Например, Р4(х)=2x4-3x3+x2+х+5 является многочленом со степенью четыре. В этом примере значения многочлена при х=0; 1 и 2 равны Р4(0)=5, Р4(1)=6, Р4(2)=19 соответственно. Многочлен может быть представлен графически, путем отметки значения у=Рn(х) на графике в соответствии со значениями х.
Теорема Безу. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). |
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена F(x) на линейный двучлен x–a равен значению многочлена в точке а, т. е. числу F(a). |
Доказательство.
Разделим
F(x)
на
x–a
с
остатком, т. е. представим его в виде
|
Следствие. Для того чтобы многочлен F(x) делился на двучлен x–a, необходимо и достаточно, чтобы F(a)=0, т. е. чтобы а было корнем многочлена x. |
Как
было сказано выше, остаток R
является
константой. Подставим x=a
:
что
и требовалось доказать.