11.Классическое опр-ие вер-ти

Вероятность события   равна отношению числа случаев  , благоприятствующих ему, из общего числа   единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу  , т. е.

( .)

12.Геометр-ое опр-ие вер-ти

Пусть на плоск-ти есть пл-ая си-ма коорд-т и нар-ем ф-ру,и внутри ее тоже,часть простр-ых соб-ий.Пусть на пр-во эл-ых соб-ий сл-ым обр-ом брос-ся мат-ая точка.Если эта т-ка ок-ся вн-ри ф-ры А,то мжн считать,что это соб-ие произошло,если не попадает,то сч-ем,что соб-е А пр-ло.Н-ти в-ть со.А.

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

13.Теоремы сложения и умножения вер-ей

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ), где АВ – произведение событий А и В.

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого: Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

14.Ф-ла полной вер-ти

Если об обстановке опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез)  

Н₁, Н₂, ..., Н_n и если событие А может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события Авычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁) Р(А/Н₁) + Р(Н₂) Р(А/Н₂) +...+  Р(Н_n) Р(А/Н_n).

15.Схема незав-ых исп-ий Бернулли

Последовательность n независимых в совокупности испытаний называется схемой Бернулли, если при каждом испытании возможны только два исхода: появление события А (успех) и его непоявление (неуспех), причём вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p.

В схеме Бернулли вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

, где q=1-p; ; n!=n·(n-1)·…·2·1, 0!=1.

16.Лок-ая и инт-ая т-мы М.-Л.Т-ма Пуассона

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико, а вероятности успеха и неудачи не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность P_n(m) появления ровно m успехов в n испытаниях вычисляется по формуле (локальная теорема Муавра-Лапласа):

P_n(m)= где (х)= . Функция (х) – четная и для положительных значений х составлена таблица ее значений.

Если в схеме Бернулли p существенно отличается от 0 и 1, а n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее раз, но менее раз, вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

, где – функция Лапласа, , , причём Ф(-х)=-Ф(х), Ф(х)≈0,5 при х≥5.

Формулы Муавра-Лапласа, как правило, используются, если 0,1<p<0,9, и дают хорошие результаты, если npq велико (>=20).

Если в схеме Бернулли вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний очень мала, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность вычисляется приближенно по формуле Пуассона: , a=n·p.

Эту формулу обычно применяют в тех случаях, когда а ≤ 10.