III.4. Неустойчивость шнура с распределенным током

В реальных токамаках ток распределен по радиусу. Поэтому перейдем к рассмотрению устойчивости плазмы с распределенным током. Воспользуемся для анализа вариационным принципом (II.2.16). Для удобства приведем его снова.

Напомним, что все равновесные величины зависят только от радиуса , .

Для устойчивости функционал должен быть неотрицательным. Покажем, что первый и третий члены в сумме всегда неотрицательны. Для того, чтобы вычислить работу плазмы при возмущении, умножим возмущенное давление (III.1.30) на

. (III.4.1)

Пусть плазма сжалась, , а давление увеличилось, . При этом работа , совершенная внешней силой над плазмой, положительна, т.е. . В случае расширения плазмы , , а величина по-прежнему. Таким образом, первый и третий члены в выражении (II.2.16) в сумме неотрицательны. Поэтому наиболее опасными являются несжимаемые возмущения, для которых .

Два последних интеграла в выражении (II.2.16) обращаются в ноль, т.к. объем вакуума равен нулю, а смещение плазмы на твердой границе также зануляется.

Итак, функционал (II.2.16) значительно упрощается:

, (III.4.2)

где . Второй член в фигурных скобках преобразуется так:

. (III.4.3)

С учетом этого выражение (III.4.3) переходит в следующее:

. (III.4.4)

Компоненты вектора имеют вид:

; (III.4.5)

; (III.4.6)

. (III.4.7) Вычислим теперь второй член в формуле (III.4.4).

. (III.4.8)

Здесь . Окончательно получаем: .

(III.4.9)

Функционал теперь принимает вид (III.4.10)

Интеграл от дивиргентного члена свелся к интегралу по поверхности и выпал, т.к. смещение на жесткой границе обращается в ноль.

Подставим в условие равновесия .

. (III.4.11)

В этом случае функционал принимает вид:

(III.4.12)

В интеграл входяи только две независимые функции: и . Представим эти функции в виде гармоник:

(III.4.13)

Тогда компоненты вектора выразятся через и так:

(III.4.14)

Интеграл (III.4.12) содержит члены, пропорциональные , и . При интегрировании члены вида и дают множитель , а члены, пропорциональные , зануляются. Постоянный множитель при минимизации функционала не важен поэтому можно написать:

. (III.4.15)

Величина входит в функционал алгебраически. Поэтому его можно минимизировать, просто приравняв производную от подынтегрального выражения к нулю. Отсюда находим

. (III.4.16)

Подставим это выражение в (III.4.15).

. (III.4.17)

Последний член можно проинтегрировать по частям, имея в виду, что . В результате находим, что функционал представляется в виде

. (III.4.18)

Здесь

Легко видеть, что задача свелась к принципу наименьшего действия в механике для одномерного движения материальной точки. Роль действия играет функционал . Уравнение, аналогичное уравнения Эйлера, имеет вид

. (III.4.19)

Очевидно, что наиболее опасными возмущениями являются те, для которых минимален первый член под интегралом в формуле (III.418), т.е.

. (III.4.20)

Это винтовые возмущения, вытянутые вдоль силовой линии. Но и зависят от радиуса. Поэтому условие (III.4.20) может выполняться лишь на некоторых, так называемых «резонансных» поверхностях. Уравнения силовых линий на магнитной поверхности имеет вид . Здесь , - коэффициент запаса устойчивости. При целочисленном шаг силовой линии кратен периоду эквивалентного цилиндра. Вблизи резонансной силовой линии с шагом приближенно , где - отклонение от рациональной поверхности.

Рассмотрим наиболее простой случай . Функции и будут выглядеть так:

. (III.4.21)

Два последних члена в малы как x и x² и могут быть отброшены. Функционал в этом случае упрощается,

. (III.4.22)

Здесь , штрих означает производную по .

Уравнение Лагранжа для этого функционала имеет вид:

, (III.4.23)

а его решение - где . Если то - действительное отрицательное число, и оба решения расходятся в нуле. Если одно из решений расходится в нуле, а второе нарастает к периферии, т.е. не удовлетворяет граничному условию . Это означает, что в обоих случаях возмущения не развиваются, и плазма устойчива.

Пусть теперь . В этом случае решение, удовлетворяющее граничным условиям, сильно осциллирует в нуле, модель требует уточнения, и вопрос об устойчивости требует дальнейшего изучения.

В связи с этим рассмотрим модельную задачу. Введем безразмерную переменную , где - координата некоторой условной границы, достаточно далекой от рациональной поверхности. Граничные условия будут иметь вид: . Домножим функционал на положительную величину ,

. (III.4.24)

С помощью неравенства Буняковского,

(III.4.25)

для первого члена в левой части неравенства (III.4.24) можно написать неравенство

. (III.4.24)

Мы проинтегрировали правую часть неравенства (III.4.24) по частям. Заменим первый член этого неравенства на меньший с помощью неравенства (III.4.24) и получим необходимое условие устойчивости

, или , или . (III.4.25)

Здесь .

Полученный критерий устойчивости называется критерием Сайдема. Заметим, что в системах для удержания плазмы . Поэтому при нулевом шире, , любой спадающий профиль неустойчив.