Глава III. Устойчивость идеальной плазмы в системах с замкнутыми магнитными поверхностями

В этой главе мы рассмотрим конкретные неустойчивости, характерные для плазменных конфигураций в термоядерных установках.

III.1 Желобковая неустойчивость

Одной из наиболее опасных оказывается так называемая желобковая (flute-like в зарубежной литературе) неустойчивость. Ее еще называют перестановочной или конвективной неустойчивостью.

Рассмотрим эту неустойчивость в пробкотроне. Сечение пробкотрона, перпендикулярное оси, показано на рис. 5.

Рис. 4. Желобковое возмущение

Пусть трубка плазмы, вытянутая вдоль силовых линий, всплывает из более горячей и плотной области в менее плотную и более холодную. Это приводит к изгибанию линий постоянной плотности. Пусть магнитное поле направлено за плоскость чертежа. Если сечение проходит через середину пробкотрона, в этом сечении магнитное поле спадает к периферии. При этом положительно заряженные частицы дрейфуют в направлении вектора [H, H], то есть против часовой стрелки, а отрицательно заряженные – в противоположном направлении. В той области, где трубка «всплыла», на ее краях выступят нескомпенсированные заряды и возникнет электрическое поле в полоидальном направлении. Под действием этого поля как положительно, так и отрицательно заряженные частицы будут испытывать ExВ-дрейф, приводящий к дальнейшему «всплыванию» частиц. Но частицы движутся также и вдоль силовых линий от пробки к пробке, попадая в те области вблизи пробок, где магнитное поле возрастает к периферии. В этих областях они будут дрейфовать к оси пробкотрона. В пробкотроне частицы плохо проникают в область пробок. В результате частицы в среднем будут смещаться наружу, то есть плазма будет неустойчива.

Рис. 5 . Антипробкотрон

В антипробкотроне (рис.5), когда поля от двух кольцевых токов направлены навстречу друг другу, магнитное поле всюду будет спадать по радиусу, и плазма будет устойчива. Но в экваториальном сечении в магнитном поле будет существовать круговая щель, через которую частицы будут быстро уходить из ловушки вдоль поля. Такая система для удержания плазмы непригодна.

Мы качественно рассмотрели желобковую неустойчивостью. Перейдем теперь к ее количественному описанию.

Пусть силовая трубка, вытянутая вдоль силовых линий, «всплыла» из положения 1а-1б в положение 2а-2б. (рис.6), причем время «всплытия» много больше, чем время пролета частиц между пробками.

Рис. 6. Всплытие трубки в пробкотроне

Тогда при «всплытии» сохраняется продольный адиабатический инвариант . Выражая параллельную составляющую импульса через магнитный момент и полный импульс , получаем следующее выражение для адиабатического инварианта:

. (III.1.1)

Интегрирование здесь ведется между точками отражения. При смещении трубки из положения 1 в положение 2 меняются магнитное поле и точки отражения. При этом адиабатический инвариант не меняется:

. (III.1.2)

Найдем среднее за период изменение энергии частицы.

. (III.1.3)

Найдем вариацию магнитного поля . В установках типа токамак или стелларатор параметр , равный отношению плазменного давления к магнитному, мал, и возмущение магнитного поля можно считать практически вакуумным, то есть для него можно положить rot H=0. Вычислим циркуляцию вектора Н по замкнутому контуру 1а-1б-2б-2а-1а, показанному на рис. 6. Будем считать контур узким, т.е. интегралами на участках 1б-2б и 2а-1а можно пренебречь. Длина участка 1а-1б равна dl, магнитное поле на этом участке равно H. Длина участка 2а-2б равна , а магнитное поле, соответственно, равно . Таким образом, из условия обращения в ноль циркуляции магнитного поля получаем:

Если потенциальная энергия при отклонении от равновесия растет, то система устойчива. Потенциальная энергия плазмы в трубке – это сумма энергий всех частиц в этой трубке. Вероятность пребывания частицы на отрезке силовой линии dl равна отношению времени пребывания на этом отрезке к времени пребывания между пробкам

. (III.1.4)

Подставляя (III.1.4) в (III.1.3) и учитывая, что , получаем:

, (III.1.5)

. (III.1.6)

Пусть в интервале на данной силовой линии содержится частиц. Тогда полное приращение энергии в трубке сечением dS имеет вид:

III.1.7)

Величина f(p,r) d³pd³r – это число частиц в фазовом объеме d³pd³r. Элемент объема dV выражается через сечение трубки и элемент ее длины, dV = dlsS. Величина HdS – это магниный поток через площадку dS. При этом соотношение (III.1.7) перепишется так:

. II.1.8)

В случае почти изотропной функции распределения можно написать:

. (III.1.9)

Среднеквадратичная скорость частиц в неподвижной плазме пропорциональна давлению,

. III.1.10)

Плазма будет устойчива, если ее энергия при отклонении от положения равновесия будет возрастать, , то есть

. III.1.11)

Во многих реальных системах давление анизотропно. Простейшим примером такой системы является пробкотрон. Вследствие ухода через магнитные пробки распределение частиц по параллельным скоростям отличается от распределения по перпендикулярным. В декартовой системе координат тензор давления диагонален и имеет вид:

_{, (III.1.12}

_где

_{f – функция распределения частиц по скоростям. В этом случае условие устойчивости (III.1.12) перепишется так:}

. III.1.13) В токамаке продольное давление мало отличается от перпендикулярного . Согласно (I.1.5) должно выполняться равенство (H, P)=0. Поэтому условие (II.1.11) переходит в условие

, (III.1.14)

С другой стороны вариацию интеграла можно представить так:

Так как в замкнутых системах величина не варьируется. Таким образом, условие устойчивости имеет вид

, (III.1.15)

То есть интеграл должен убывать при удалении от оси системы.

Условие (III.1.15) можно представить несколько иначе.

(III.1.16)

где - сечение трубки, - объем трубки, а - магнитный поток через это сечение. Условием устойчивости является убывание объема силовой трубки с ростом заключенного в ней магнитного потока.

Очевидно, что невозможно создать систему с абсолютным минимумом магнитного потока. Но возможно создать систему с минимумом Н в среднем. Примерами таких систем являются цилиндр с эллиптическим сечением, в котором эллипс сечения вращается вокруг центральной оси (рис. 6) и пробкотрон со стабилизирующими стержнями (установка Иоффе, рис. 7).

Рис. 7. Схема установки Иоффе

Подробнее об этом можно прочитать в работе [1].