II.2. Энергетический принцип

Уравнение (III.1.31) можно записать так:

, (II.2.1)

Здесь - дифференциальный оператор. Можно показать, что если оператор - самосопряженный, т.е. , то можно написать функционал , вариация которого дает исходное уравнение.

В Фурье-представлении двукратное дифференцирование по времени заменяется на умножение на квадрат частоты . Если мнимая часть частоты оказывается больше нуля, то система неустойчива. Анализ устойчивости может быть существенно упрощен. Для такого уравнения можно построить вариационный принцип. Подставляя в этот принцип вместо точного решения уравнения приближенную пробную функцию, качественно описывающую характер решения, можно с хорошей точностью получить собственные значения , т.е. исследовать устойчивость системы.

Домножим уравнение (II.2.1) на скалярно и проинтегрируем по объему и по времени по частям от до t и по пространству, полагая .

(II.2.2)

Это равенство справедливо при произвольном t. Поэтому можно считать, что

. (II.2.3)

Первый член в этом выражении можно интерпретировать как кинетическую энергию системы , а второй, ,– как потенциальную.

Если при всех возможных смещениях от положения равновесия, то система устойчива. В случае уравнения (II.1.31) потенциальная энергия имеет вид:

)+ ))+

. (II.2.4)

Преобразуем первый интеграл в фигурных скобках. Интегрирование ведется по объему, занятому плазмой, т.к. вне его давление равно нулю. Обозначим

. (II.2.5)

Интегрируя по частям, находим:

. (II.2.6)

В первом члене интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей плазму. Рассмотрим теперь последний член в интеграле (II.2.4). Обозначим

. (II.2.7)

Последний член в (II.2.4) преобразуется так:

(II.2.8)

В первом интеграле интегрирование снова ведется по границк плазмы. Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что поверхность плазмы параллельна магнитному полю, получаем выражение для потенциальной энергии.

Поверхностный интеграл преобразуем с помощью равенства (III.1.38).

(II.2.10)

Величину надо вычислять на подходе к границе плазмы со стороны плазмы. Эту величину можно определить, подставляя уравнение (II.1.13) в (II.1.16) и интегрируя последнее по времени,

(II.2.11)

Скалярное произведение можно выразить через модуль элемента поверхности и нормальную к поверхности составляющую смещения, . Тогда

(II.2.12)

Последний член можно преобразовать так:

. (II.2.13)

Последний член обращается в ноль, т.к. магнитное поле на границе плазмы перпендикулярно поверхности плазмы. Снова перейдем к интегрированию по объему, но теперь будем вести интегрирование по вакуумной области. При этом знак нормали к поверхности плазмы имеет другой знак.

(II.2.14)

Учитывая, что в вакууме , раскроем двойное векторное произведение и подставим . При этом получаем:

. (II.2.15)

И окончательно

Пользоваться энергетическим признаком удобно в тех случаях, когда нужно получить общие сведения об устойчивости плпазменной конфигурации. Он, в частности, позволяет приближенно быстро найти область неустойчивости, что при нахождении ее методом малых колебаний требует значительного времени.