Глава II. Гидродинамический подход к описанию неустойчивостей

Рассмотрим общие подходы к проблеме устойчивости. Одним из таких подходов является метод малых возмущений. Вначале рассматривается равновесие плазмы. Затем вводится малое отклонение от этого равновесия. Еси при этом малое возмущение нарастает со временем, такое равновесие является неустойчивым.

В этой главе мы рассмотрим два метода анализа устойчивости: метод малых возмущений и энергетический принцип. Оба рассмотренных здесь метода имеют ограниченные области применимости. Оба этих метода, основанных на одножидкостной гидродинамике, позволяют анализировать довольно широкий класс жедобковых и винтовых мод, весьма важный при анализе устойчивости тороидальных систем. С другой стороны, за рамками рассмотрения оказываются возмущения, связанные с разделением зарядов, такие, как ленгмюровские и дрейфовые моды, а также коротковолновые возмущения. Последние требуют кинетического описания.

II.1 Метод малых возмущений

Метод малых возмущений мы будем рассматривать в гидродинамичесчком приближении Брагинского [2]

(n_eV_e)=0; (II.1.1)

(n_iV_i)=0; (II.1.2)

m_en_e +(V_e, ) V_e= [V_e,H] – n_eeE + R_T – F_e; (II.1.3)

m_in_i +(V_i, ) V_i= [V_i,H ] + n_ieE – R_T – F_i. (II.1.4)

Здесь F_e,I – вязкие силы, R – сила трения между электронами и ионами. Остальные обозначения стандартные.

Будем предполагать квазинейтральность плазмы, т.е. . Ведем массовую скорость

V =(m_eV_e+m_iV_i)/(m_e+m_i). (II.1.5)

Умножая уравнения (II.1.1) и (II.1.2) на массы электронов и ионов соответственно и суммируя два этих выражения, получаем уравнение непрерывности дя плазмы как целго.

V)=0. (II.1.6)

Сложим уравнения (II.1.3) и (II.1.4). Пренебрегая вязкими членами, получаем:

V= [j,H]. (II.1.7)

Здесь , (V, ). Во многих задачах инерция электронов пренебрежимо мала. Поэтому положим в уравнении (II.1.3). Ток j можно выразить через электронную и ионную скорости:

J = ne(V_i –V_e). (II.1.8)

Полагая, что скорость электронов не слишком велика по сравнению со скоростью ионов (это предположение не всегда справедливо), можно положить также V V_i.

Для анализа гидродинамических неустойчивочтей, таких, как винтовая неусойчивость в токамаке, которые развиваются за времена, много меньшие времени между столкновениями, можно пренебречь столкновениями, то есть силами трения между электроами и ионами. В этом случае уравнение (II.1.3) перепишется так:

E+ [(V-j/(ne),H]=0. (II.1.9)

Здесь мы пренебрегли инерцией электронов.

Член [j,H] выразим с помощью уравнения (II.1.7).

V= neE+ [V,H]. (II.1.10)

Левую часть уравнения (II.1.10) можно оценить как V, где - характерное время развития неустойчивости, а ее отношение к последнему члену в правой части – как . Здесь - ионная ларморовская частота. Таким образом, для процессов, характерное время развития которых много больше ионной ларморовской частоты, левую часть уравнения (II.1.10) можно положить равной нулю.

Сравним теперь первый и последний члены в (II.1.10). Для первого члена можно сделать такую оценку:

. (II.1.11)

Последний член в правой части (II.1.10)можно оценить следующим образом:

[V,H] . (II.1.12)

Отношение двух этих членов можно представить в виде . Здесь - инный ларморовский радиус. Если отношение макроскопической скорости плазмы к ее тепловой скорости достаточно велико, , то в уравнении (II.1.10) можно пренебречь также и градиентом давления. В результате получаем:

E+ [V,H]=0. (II.1.13)

В качестве уравнения энергии возьмем адиабату или

(V, ) =0. (II.1.14)

К материалным уравнениям небходимо добавить уравнения Максвелла,

rot E = H, (II.1.15)

div H = 0, (II.1.16)

rot H = j. (II.1.17)

В последнем уравнении опущена производная по времени от электрического поля, т.е. полученная система уравнений не описывает такие быстрые процессы, как распространение радиоволн в плазме.

Как всегда в метде малых возмущений, ищем все величины в виде суммы не зависящей от времени невозмущенной величины и малой добавки, H=H₀ +H₁; P = P₀+P₁; ; E=E₁; V = V_1. Мы предположили, что невозмущенные значения скорости и электрического поля равны нулю.

В нулевом приближении получаем:

( V₀)=0, (II.1.18)

[j_0,H₀], (II.1.19)

( ,H₀ ) = 0, (II.1.20)

[ H₀] = j_0. (II.1.21)

В первом приближении

V₀) = 0, (II.1.22)

V₁ [j_0,H₁]+ [j₁,H₁], (II.1.23)

(V V₀) = 0, (II.1.24)

[V,H₀], (II.1.25)

rot H₁ = j₁. (II.1.26)

Удобно ввестои смешение элемента плазмы V = . Последнее равенство получено в первом порядке теории возмущений путем отбрасывания квадратичного по возмущению члена. Уравнение (II.1.25) теперь перепишетсч так:

[ , H₀]. (II.1.27)

Это уравнение по времени, получаем:

H₁ = rot[ ,H₀]. (II.1.28)

Аналогичрым образом получаем:

( ), (II.1.29)

) ). (II.1.30))

Окончательно, подставляя полученные выражения в уравнение (III.1.23), получаем уравнение второго порядка для :

)+ ))+

. (II.1.31)

Уравнение (II.1.31) должно быть дополнено граничными условиями.

Рассмотрим два варианта: на границе плазмы с идеально проводящей стенкой и на границе с вакуумом.

На границе со стенкой смещение плазмы в направлении, перпендикулярном стенке, равно нулю,

(II.1.32)

Здесь - единичный вектор, нормальный к поверхности.

В идеально проводящей плазме составляющая электрического поля, параллельная границе, обращается в ноль,

(II.1.33)

C помощью уравнения (II.1.13) и соотношения V = в линейном приближении получаем:

(II.1.34)

Проинтегрировав (II.1.34) по времени, окончательно получаем граничное условие на бесконечно проводящей неподвижной стенке:

(II.1.35)

На неподвижной границе плазма - вакуум магнитное поле перпендикулярно границе (в противном случае плазма будет вытекать через границу вдоль поля):

(II.1.36)

Величины в вакууме и в плазме будем обозначать соответственно индексами “e” (external) и ‘i’ (internal). Равенство полных давлений по обе стороны границы раздела имеет вид:

(II.1.37)

Все величины надо вычислять на смещенной границе , где индексом “0” обозначены гадиус-вектор невозмущенной границы и нормаль к ней. Разлагая в ряд по , с учетом (II.1.30), получаем в первом приближении

. (II.1.38)

В этом уравнении все значения берутся на невозмущенной границе плазма -вакуум.

В плазме в системе отсчета, движущейся вместе с граничной поверхностью, электрическое поле обращается в ноль. Тангенциальная ее составляющая непрерывна. Поэтому

(II.1.39)

Так как оба слагаемых в левой части формулы первого порядка малости, их можно взять на невозмущенной границе,

. (II.1.40)

В вакууме электрическое поле выражается через векторный потенциал, . Выражение (II.1.40) можно переписать так:

. (II.1.41)

Интегрируя это равенство по в ремени и учитывая, что магнитное поле параллельно магнитной поверхности, получаем:

(II.1.42)

На границе вакуум-стерка смещение обращается в ноль, поэтому .