Глава IV. Резистивные неустойчивости
IV.1. Тиринг-мода
Рассмотренные в предыдущей главе неустойчивости идеальной плазмы развиваются, как правило, за очень малые времена порядка отношения размера плазмы к альфвенвской скорости. В плазме могут развиваться и другие неустойчивости, связанные с конечной ее проводимостью. Характерные времена их развития существенно больше, однако и они играют важную роль. За такие времена нарушается вмороженность силовых линий в плазму. В частности, может происходить перезамыкание силовых линий и меняться топология магнитного поля. Пример такого перезамыкания приведен на рис.12.
Рис. 11. Перезамыкание силовых линий
Пусть в плоском
слое плазмы течет ток в направлении оси
z.
Силовые
линии в начальный момент времени
параллельны оси
(рис. 12а). Такая конфигурация может быть
неустойчивой. Как известно, параллельные
токи притягиваются, поэтому однородный
вначале ток начинает расслаиваться на
отдельные волокна. Силовые линии начинают
изгибаться (рис. 12б). Токи, текущие вблизи
поверхности
,
при конечной проводимости гасят друг
друга (в случае бесконечной проводимости
они лишь сгущались бы вблизи этой
поверхности), и магнитные поверхности
меняют топологию, образуя «островную»
структуру (рис. 12в).
Опишем эту картину
математически. Пусть
.
Закон Ома в простейшей форме имеет вид:
.
(IV.1.1)
Для простоты будем
считать, что удельное сопротивление
постоянно,
.
Взяв
от этого уравнения и принимая во внимание,
что
,
получаем:
.
(IV.1.2)
Преобразуем первый
член в правой части с учетом того, что
.
.
(IV.1.3)
Тогда уравнение (IV.1.2) Можно переписать в виде уравнения диффузии с некоторыми дополнительными членами.
.
(IV.1.4)
Здесь мы учли, что
.
К этому уравнению необходимо добавить уравнение, описывающее движение плазмы. В одножидкостном приближении, пренебрегая вязкостью, имеем:
.
(IV.1.5)
Членом
мы пренебрегли, т.к. он квадратичен по
v
и в линейное приближение вклада не даст.
Последний член в правой части преобразуем
с помощью следующих операций:
;
.
(IV.1.6)
Множитель ½ перед последним членом в правой части связан с тем, что оператор «набла» действует лишь на одно Н в левой. Представим Н как сумму невозмущенного поля и малого возмущения, подставим (IV.1.6) в (IV.1.5). В нулевом приближении получим:
.
(IV.1.7)
В линейном приближении
.
(IV.1.8)
Возьмем
от этого уравнения.
.
IV.1.9)
H0
зависит только от х,
поэтому
.
Введем функцию
(IV.1.10)
и подействуем оператором на уравнение (IV.1.9).
.
(IV.1.11)
Правую часть и левую части этого уравнения с точностью до постоянного множителя можно представить так:
(IV.1.12)
Здесь мы предположили,
что плазма несжимаема,
.
Все коэффициенты перед H
и v
в уравнении (IV.1.11)
только от х,
и уравнение можно разложить в интеграл
Фурье по у,
z
и t,
.
В дальнейшем индексы у Фурье-компонент
будем опускать. Итак, в Фурье-представлении
уравнение (IV.1.9)
имеет вид
.
(IV.1.13)
Здесь
.
С учетом
находим:
.
(IV.1.14)
Вычислим теперь
x-составляющую
вектора
.
(IV.1.15)
Подставим теперь выражения (IV.1.14) и (IV.1.15) в x-компоненту уравнения (IV.1.13). Окончательно получаем следующее уравнение:
.
(IV.1.16)
Второе уравнение окончательной системы – это Фурье-компонента уравнения (IV.1.4).
.
(IV.1.17)
Как видно, в полученную систему уравнений входят только х-компоненты скорости и магнитного поля.
Для начала рассмотрим
случай идеальной плазмы, т.е. устремим
удельное сопротивление
к нулю. Тогда
.
(IV.1.18)
При
,
стремящемся к нулю, скорость обращается
в бесконечность, т.е. теория неприменима,
и мы должны учитывать конечное
сопротивление. Пусть поверхность
совпадает с поверхностью
.
Тогда вблизи этой поверхности можно
написать
,
где штрих означает производную по
.
Вдали от этой поверхности при большой
проводимости можно пользоваться
идеальной гидродинамикой и формулой
(IV.1.18).
В этом случае (IV.1.16)
можно переписать так:
.
(IV.1.19)
Вблизи порога
неустойчивости
,
и уравнение (IV.1.19)
упрощается.
.
(IV.1.20)
Решим модельную
задачу, представив
.
В выбранной нами системе координат
.
Решение этой задачи известно:
.
(IV.1.21)
Однако, это решение
терпит разрыв производной в точке
.
Действительно, при
.
При
.
Следовательно,
приближение идеальной МГД здесь
неприменимо, и надо вводить конечную
проводимость. Будем называть эту область
резистивной. Пусть ширина этой области
много меньше длины волны,
.
Тогда в равнении (IV.1.16)
можно пренебречь величиной
в круглых скобках, и это уравнение
перепишется так:
.
(IV.1.22)
К этому уравнению
добавляется уравнение (IV.1.17)
при
.
(IV.1.23)
Как уже указывалось,
в этой узкой области величина
практически линейно зависит от
,
,
где
,
и последним членом в (IV.1.16)
мы пренебрегли.
Разделим уравнение
(IV.1.23)
на
и проинтегрируем его по
от
до
.
.
(IV.1.24)
Введем величину
.
(IV.1.25)
Тогда уравнение (IV.1.24) перепишется так:
.
(IV.1.26)
Подставим
из уравнения (IV.1.22)
в уравнение (IV.1.23).
.
(IV.1.27)
Инкремент
неустойчивости можно вычислить,
подставляя это выражение в правую часть
уравнения (IV.1.26),
а
- из (IV.1.25)
и пользуясь «приближением постоянного
»,
т.е. считая, что в правой части (IV.1.27)
.
Качественно инкремент неустойчивости можно оценить так. В резистивной зоне
.
IV.1.28)
Тогда, считая в уравнении (IV.1.23) оба члена в правой части одного порядка, для оценки можно написать:
,
(IV.1.29)
или по порядку величины
.
(IV.1.30)
Таким образом, условие устойчивости сводится к следующему:
.
Для того, чтобы
найти
,
надо оценить
.
По порядку величины
.
Подставляя эту оценку и выражение
(IV.1.28)
в выражение (IV.1.22),
находим
.
(IV.1.31)
Используя (IV.1.29)
и (IV.1.30),
сокращаем на
и получаем
.
(IV.1.31)
В результате находим толщину резистивного слоя:
.
(IV.1.32)
Введем два времени: альфвеновское
,
(IV.1.33)
и резистивное
,
(IV.1.34),
а также магнитное число Рейнольдса
.
(IV.1.35)
и выразим через него .
.
(IV.1.36)
и окончательно
.
(IV.1.37)
Напомним, что - поперечный размер плазменного слоя. Как видно из полученного результата, инкремент тиринг-моды (резистивной неустойчивости) существенно меньше обратного альфвеновского времени, характерного для развития идеальных мод.
Теория похожей неустойчивости, так называемой неоклассической тиринг-моды, учитывает неоклассические эффекты.
IV.2. Дрейфовая диссипативная нейстойчивость
Вообще говоря, можно ожидать, что всевозможные отклонения от максвелловского распределения, в частности, течения плазмы могут приводить к неустойчивостям. В ловушках для удержания плазмы всегда имеются градиенты плотности и температуры. В этом разделе мы рассмотрим одну из таких неустойчивостей в столкновительном режиме. Она не способна разрушить плазменный шнур, так как локализована вблизи рациональной поверхности, но может дать вклад в аномальный перенос. (см. также раздел III.6).
Рассмотрим плоский
слой
плазмы в
однородном магнитном поле
,
направленном вдоль оси z.
В равновесии градиент давления направлен
вдоль оси x.
Скоростью частиц поперек магнитного
поля, связанной с диффузией, и инерцией
электронов можно пренебречь. Пренебрежем
также стационарным электрическим полем
и положим температуру ионов равной
нулю. Тогда
,
(IV.2.1)
а ток имеет только
полоидальную составляющую
.
В нулевом приближении имеем:
(IV.2.2)
Мы будем рассматривать чисто электростатические возмущения, т.е. пренебрегать возмущениями магнитного поля. Тогда уравнение движения плазмы приобретает вид:
.
(IV.2.3)
Обобщенный закон Ома дается выражением (V.4.6) из работы [8]
.
(IV.2.4)
Здесь
- удельное сопротивление. Мы пренебрегли
термосилой и вязкостью. С учетом
соотношений
и (IV.2.1)
можно написать:
.
(IV.2.5)
Мы ввели скалярный
потенциал
.
Кроме того, нам понадобятся уравнения
непрерывности для вещества и электрического
тока,
(IV.2.6)
и
(IV.2.7)
В Фурье-представлении по времени уравнения (IV.2.3) и (IV.2.5) выглядят так:
,
(IV.2.8)
.
(IV.2.9)
Выразим
из уравнения (IV.2.9)
и подставим в (IV.2.8).
.
(IV.2.10)
Все параметры равновесного состояния не зависят ни от y, ни от z. Поэтому возмущенные параметры можно разложить в интеграл Фурье по y и z. Тогда z-компоненту тока можно найти из уравнения (IV.2.9).
.
(IV.2.11)
В уравнения
(IV.2.10),
можно опустить член
.
Соответствующие компоненты этого
уравнения имеют вид:
(IV.2.12)
и
.
(IV.2.13)
Разрешая эти два уравнения относительно Vx и Vy, получаем:
;
(IV.2.14)
.
(IV.2.15)
Здесь
- ионная циклотронная частота. Для
дрейфовой диссипативной моды можно
положить
.
Поэтому членами, квадратичными по
,
можно пренебречь,
Найдем теперь остальные компоненты возмущенного тока. Перпендикулярная составляющая уравнения (IV.2.9) при пренебрежении членом, пропорционильным сопротивлению плазмы, дает:
,
(IV.2.16)
что в компонентах дает:
,
(IV.2.17)
.
(IV.2.18)
Подставим выражения
для тока в уравнение
,
и будем считать, что
.
В результате получим:
.
(IV.2.19)
Еще
одно уравнение получим с помощью
уравнения непрерывности
.
Из z-компоненты
уравнения (IV.2.8)
находим
.
(IV.2.20)
Подставляя (IV.2.14), (IV.2.15) и (IV.2.20) в уравнение непрерывности, получаем:
.
(IV.2.21)
Определитель системы уравнений (IV.2.19) и (IV.2.21) дает дисперсионное уравнение для дрейфовой диссипативной моды.
,
(IV.2.22)
или
.
(IV.2.23)
Это выражение
можно представить также так:
.
(IV.2.24)
В этом выражении в скобках можно пренебречь двумя последними членами по сравнению с единицей.
Введем дрефовую частоту
.
(IV.2.25)
Умножим
уравнение(IV.2.24)
на
.В
результате десперсионное уравнение
приобретает вид
.
(IV.2.26)
Введем
безразмерную частоту
и обозначение
.
Тогда дисперсионное уравнение принимает
совсем простой вид:
,
.
(IV.2.27)
Рассмотрим случай
.
Для таких воозмущений
,
или в размерном виде
.
(IV.2.28)
Как видно, решение со знаком «плюс» соответствует неустойчивости.
В противоположном
случае,
получаем:
,
(IV.2.29)
т.е. одно из решений устойчиво, а другое слабо неустойчиво.