МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕГАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Д.Х. Морозов

Введение в теорию горячей плазмы. Часть 2

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технология»

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

Москва 2013

УДК

ББК

М

Морозов Д.Х. Введение в теорию горячей плазмы. Часть2. Учебное пособие. – М.: НИИЯУ МИФИ, 2013. ююю с.

Во второй части пособия «Введение в теорию горячей плазмы» на основе теоретических представлений, изложенных в первой части, рассматриваются основные элементы теории равновесия и устойчивости горячей плазмы в тороидальных системах. Излагается неоклассическая теория переноса в токамаке. Пожалуй, впервые в учебной литературе представлены элементы теории плазмы с примесями, играющие очень важную роль для холодных периферийных областей термоядерных устройств. Несмотря на сравнительно небольшой объем, занимаемый холодной периферийной плазмой, периферия в ряде случаев играет определяющую роль в проблеме удержания. В частности, именно процессы в периферийной области вызывают срыв разряда во всем объеме (так называемый большой срыв).

Как и первая часть пособия, вторая часть предназначена для студентов старших курсов и аспирантов физических факультетов вузов.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИИЯУ МИФИ.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. В.И. Ильгисонис

ISBN 978 – 5 – 7262 – 1632 – 4 © Национальный исследовательский

Ядерный университет «МИФИ», 2013

Аннотация

Вторая часть пособия "Введение в теорию горячей плазмы" посвящена теории магнитного удержания плазмы в тороидальных системах. Рассматриваются три наиболее важные проблемы:

1. Равновесие плазмы в системах с замкнутыми поверхностями.

2. Устойчивость плазмы в тороидальных системах.

3. Перенос тепла и частиц.

При рассмотрении первого пункта получено уравнение Шафранова – Грэда и влияние тороидальности на структуру магнитных поверхностей в токамаке.

Во втором пункте рассмотрен энергетический метод исследования неустойчивостей и более подробно анализируются такие неустойчивости, как

1. Винтовая и желобковая неустойчивости.

2. Дрейфово-диссипативная неустойчивость. Температурно-дрейфовые неустойчивости на ионах и на электронах (ITG и ETG моды).

3. Неустойчивость на запертых частицах.

4. Диссипативные неустойчивости.

5. Высокочастотные неустойчивости.

При рассмотрении первого пункта получено уравнение Шафранова - Греда и влияние тороидальности на структуру магнитных поверхностей в токамаке.

Во втором пункте рассмотрен энергетический метод исследования неустойчивостей и более подробно анализируются такие неустойчивости, как

1. Винтовая и желобковая неустойчивости.

2. Дрейфово-диссипативная неустойчивость. Температурно-дрейфовые неустойчивости на ионах и на электронах (ITG и ETG моды).

3. Неустойчивость на запертых частицах.

4. Диссипативные неустойчивости.

5. Высокочастотные неустойчивости.

В третьем пункте рассмотрена неоклассическая теория переносов, а также элементы теории аномальных переносов.

Отдельно рассматривается типичная для периферии термоядерных устройств плазма с примесями, слабо освещенная современной учебной литературе.

Предисловие

Настоящее учебное пособие основано на курсе лекций, который в течение ряда лет читается студентам Кафедры физики плазмы НИЯУ МИФИ. В пособии изложены основные явления в горячей плазме и теоретические методы их изучения. Рассмотрены траектории отдельных частиц в электрических и магнитных полях, структура магнитных полей в токамаке, кинетическое и магнитогидродинамическое описание плазмы как сплошной среды, рассмотрены линейные колебания и волны в однородной плазме, бесстолкновительное затухание Ландау, а также ряд нелинейных явлений.

Вторая часть пособия в большей степени ориентирована на теорию магнитного удержания.

Основная часть второй части пособия посвящена трем наиболее важным проблемам в теории магнитного удержания:

1. Равновесие в системах с замкнутыми магнитными поверхностями.

2. Устойчивость плазмы в системах для магнитного удержания.

3. Перенос тепла и частиц.

Раздел первый посвящен равновесию плазмы в тороидальных системах. Получено уравнение Шафранова - Грэда и рассмотрено равновесие плазмы в токамаке.

В разделе 2 рассмотрены два подхода: энергетический принцип и метод малых возмущений. Анализируется ряд неустойчивостей, типичных для систем с магнитным удержанием:

1. Винтовая и желобковая неустойчивости.

2. Дрейфово-диссипативная неустойчивость. Температурно-дрейфовые неустойчивости на ионах (ITG мода).

3. Неустойчивость на запертых частицах.

4. Диссипативные неустойчивости.

5. Неустойчивости излучающей плазмы с примесями.

К сожалению, небольшой объем пособия не позволил проанализировать все неустойчивости, типичные для тороидальных систем. Например, в стороне остались баллонные моды.

Пожалуй, впервые в учебной литературе освещены неустойчивости в плазме с примесями и рассмотрено такое интересное явление, как MARFE (Microfaceted Asimmetric Radiation From the Edge).

Диффузия и теплопроводность подробно рассмотрены лишь в неоклассическом приближении. Сложные и дискуссионные проблемы аномальных переносов лишь затронуты.

Глава I. Равновесие плазмы в системах с замкнутыми магнитными поверхностями.

I.1 Уравнение Шафранова - Греда

Рассмотрим равновесное стационарное состояние плазмы в системе с замкнутыми магнитными поверхностями. Оно описывается уравнениями двухжидкостной гидродинамики для электронов и ионов соответственно:

,

(I.1.1)

_.

Здесь F - сила трения между электронами и ионами. Если скорость макроскопического движения плазмы V мала по сравнению с тепловой скоростью V_T, то инерционными членами в левых частях (I.1.1) можно пренебречь. Действительно, градиент давления в правых частях можно представить как nmV_T²/2a, где a - характерный масштаб профиля давления. Если масштаб изменения профиля скорости имеет тот же порядок, что и профиль давления, то инерционный член в левых частях (I.1) мал по сравнению с градиентом давления. Сложив два уравнения, c учетом j_i = Ze V_i, j_e= - enV_e, j=j_e+j_i, P=P_e+P_i, получаем условие равновесия при дозвуковых скоростях вращения плазмы:

^. _{. (1.1.2)}

Заметим, что мы пренебрегли вязкостью плазмы.

В случае околозвуковых или сверхзвуковых течений член m_i n_i((V_i. )V_i следует сохранять.

К уравнению (I.1.2) следует добавить стационарные уравнения Максвелла

rotH=(4 /c) (I.1.3)

divH=0. (I.1.4)

Умножая скалярно (I.1.2) на H, получаем

(H, =0. (I,1.5)

Таким образом, давление постоянно вдоль силовых линий.

Умножая то же уравнение на j скалярно, находим, что давление постоянно вдоль линий тока,

(j, P)=0. (I.1.6)

В замагниченной плазме можно ввести магнитное давление H²/(8 ). Тогда, используя уравнение (I.1.3) и равенство [rotH,H]= - H²/2+(H, )H, условие равновесия (I.1.2) можно переписать через полное давление P_tot=P+H²/(8 ),

= (H, )H. (I.1.6)

В качестве примера рассмотрим простейшую цилиндрически симметричную плазменную конфигурацию, ось которой совпадает с осью z. Пусть ток в такой конфигурации течет вдоль этой оси. Магнитное поле имеет две составляющие, осевую H_z(r), направленную вдоль оси z, и азимутальную . Тогда r и z-компоненты уравнения (I.1.6) имеет вид:

, (I.1.7)

(I.1.8)

Уравнение (I.1.8) означает лишь однородность конфигурации вдоль оси z. Уравнение (I.1.7) должно быть дополнено уравнениями Максвелла. Полученные уравнения выражают давление через магнитное поле, но не могут служить для определения того и другого по отдельности. Эту задачу можно решить только с использованием уравнений переноса.

Для рассмотрения реальных плазменных конфигураций, например, токамака, используется так называемое уравнение Шафранова – Грeда. Оно было получено сначала В.Д. Шафрановым, а затем независимо от него Грeдом. Тороидально симметричная конфигурация описывается с помощью системы координат, в которой координатными поверхностями являются поверхности, параллельные магнитному полю, и перпендикулярные ему. В простейшем случае, описанном выше, такими поверхностями являются поверхности и соответственно.

Введем цилиндрическую систему координат , ось симметрии z которой совпадает с осью тора (см. рис.1).

Рис.1 Тороидальная плазменная конфигурация

Магнитное поле в такой системе может быть описано с помощью двух компонент векторного потенциала и . Компоненты магнитного поля выражаются через них следующим образом:

(I.1.9)

Здесь мы для удобства правые части разделили и умножили на r.

Введем функцию . Тогда равенства (I.1.9) перепишутся так:

. (I.1.10)

В силу цилиндрической симметрии давление плазмы не зависит от угла . Поэтому условие (I.1.5) можно записать в виде

. (I.1.11) Подставляя (I.1.10) в (I.1.11) и учитывая, что , видим, что это условие выполняется, если давление зависит только от .

Используя (I.1.10), легко видеть, что (H, )=0. Это означает, что силовые линии магнитного поля лежат на поверхностях .

В стационарном случае сумма уравнений непрерывности для электронов и ионов дает

div j=0. (I.1.12)

Таким образом, для тока можно проделать те же операции, что и для H. Аналогично функции можно ввести функцию I, через которую выражаются компоненты тока:

; . (I.1.13)

Из условия (j, )=0 получаем, что давление плазмы является функцией I.

Тороидальная составляющая магнитного поля легко выражается через функцию I. Действительно, радиальная и осевая составляющие уравнения

rotH = j (I.1.14)

принимают вид

(I.1.15)

Выражая ток через I, получаем

то есть

, (I.1.16)

причем без ограничения общности константу можно положить равной нулю.

Рассмотрим теперь -ю составляющую уравнения (I.1.14).

. (I.1.17)

Выражая магнитные поля через , это уравнение можно привести к виду

(I.1.18)

Воспользуемся радиальной составляющей уравнения равновесия (I.1.2) и подставим в нее H_z из (I.1.10) и из (I.13). Кроме того, учтем, что давление Р зависит только от . В результате, сократив левую и правую части уравнения на , получаем следующее выражение для азимутальной составляющей тока

(I.1.19)

Окончательно, подстав теперь это выражение в (I.1.18), получим уравнение Шафранова – Греда

. (1.1.20)

Если задать давление и ток как функции магнитных поверхностей, то есть , (напомним, что ток выражается через производные от функции I), можно найти форму этих поверхностей. Если задать форму магнитных поверхностей , можно найти связь между током и давлением.

В качестве примера рассмотрим тороидально симметричную конфигурацию «сферомак». Его можно представить себе как кольцо с током радиуса R, помещенное во внешнее однородное магнитное поле. Ось симметрии кольца по направлению совпадает с направлением этого поля (рис.2).

В такой конфигурации полоидальная составляющая тока равна нулю, то есть можно положить . Профиль давления зададим так:

. (I.1.21)

Уравнение Шафранова – Грэда в этом случае принимает вид

. (I.1.22)

Решение этого уравнения можно представить в виде

, (I.1.23) если константы A и C связаны соотношением .

Переопределив константы, выражение (I.1.23) можно переписать так:

. (I.1.24)

Введем безразмерные переменные и . Уравнение магнитных поверхностей в новых переменных принимает вид

(I.1.25)

или

. (I.1.26)

Рассмотрим форму магнитных поверхностей при различных значениях .

а) . В этом случае для имеется одно положительное решение при всех z’. Геометрическим местом точек, соответствующих этому решению, являются цилиндрические поверхности, простирающиеся вдоль оси z’ от до . В этой области частицы удерживаться не могут.

б) . В этом случае одно из решений представляет собой точку в центре, а другое – эллипсоид, который является сепаратрисой, отделяющей замкнутые магнитные поверхности от разомкнутых.

Рис. 2. Сечение магнитных поверхностей сферомака плоскостью .

в) . Геометрическими местами точек, соответствующих этому решению, является система вложенных тороидальных поверхностей. Эта область является областью удержания плазмы.

Поверхность вырождается в кольцо, соответствующее магнитной оси системы.

На рис.2 представлено сечение системы поверхностей плоскостью .

Итак, первым этапом расчета системы для магнитного удержания плазмы является расчет равновесия плазмы в магнитном поле. Уравнение Шафранова – Греда – это статическое нелинейное уравнение. Во-первых, оно может быть обобщено на случай вращающейся плазмы. Во-вторых, оно нелинейное, и, следовательно, допускает не единственное решение при одних и тех же граничных условиях.